Einführung in die komplexen Zahlen

In der Schule werden verschiedene Zahlenbereiche behandelt, jedoch nicht die komplexen Zahlen. Es wird einem beigebracht, dass die Wurzel im reellen Zahlenbereich für negative Zahlen nicht definiert sei. Das ist nicht falsch, trotzdem braucht man nur in den komplexen Zahlenbereich wechseln, um eine Lösung zu erhalten. Wie das funktioniert, erkläre ich in diesem Blogpost.

Definition

Jede komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil. Daraus können wir schließen, dass jede reelle Zahl ebenso eine komplexe Zahl ohne Imaginärteil ist. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Die Zahlen sind folgendermaßen aufgebaut:

a + b*i

wobei

  • Realteil: Re(a+b*i) = a
  • Imaginärteil: Im(a+b*i) = b

Weiterhin ist folgendes festgelegt:

  • i = \(sqrt(-1)\)
  • \(i^2\) = -1
  • \(i^3\) = \(i^2*i\) = -i
  • \(i^4\) = \(i^2*i^2\) = 1
  • usw.

Wie man sieht, scheinen die komplexen Zahlen sehr nützlich zu sein. Man kann damit Gleichungen lösen, welche zuvor als „unlösbar“ bekannt waren. 

Rechnen mit komplexen Zahlen

Damit wir mit den komplexen Zahlen richtig arbeiten können, müssen wir uns die grundlegenden Rechenoperationen anschauen.

Addition

Die Addition ist sehr einfach, da einfach der Real- bzw. Imaginärteil separat addiert wird.

(a + b*i) + (c + d*i) = (a + c) + (b + d)*i

Substraktion

Die Substraktion funktioniert analog zur Addition:

(a + b*i) + (c + d*i) = (a – c) + (b – d)*i

Multiplikation

Die Multiplikation ist etwas umständlicher, aber trotzdem leicht zu merken:

(a + b*i)* (c + d*i) = (a*c – b*d) + (a*d + b*c)*i

Division

Um die Division durchführen zu können, solltet ihr erstmal einen Blick auf die komplexe Konjugation werfen. Diese brauchen wir, um den Bruch damit zu erweitern.

\(\frac{(a + b*i)}{(c + d*i)} = \frac{(a + b*i)*(c – d*i)}{(c + d*i)*(c – d*i)} = \frac{a*c + b*d}{c^2 + d^2} + \frac{b*c – a*d}{c^2 + d^2} *i\)

 

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl kann leicht mit der folgenden Formel berechnet werden:

\(|z| = sqrt(Re(z)^2 + Img(z)^2 )\)

 

Komplex Konjugation

Bei der komplexen Konjugation dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils um.

\( \overline{a + b*i} = a – b*i\)

 

Beispiel

Um die Anwendung ein wenig zu verdeutlichen, mache ich ein kleines Beispiel dazu.

\(
\begin{align*}
x^2+1 = &0\\
x^2 =& -1\\
x = &sqrt(-1)\\
x = & i
\end{align*}\)

Bevor ihr jedoch mit komplexen Zahlen rum rechnet, müsst ihr sichergehen, dass der Zahlenbereich das zulässt. Ansonsten ist die Lösung nicht zulässig.

Fazit

Komplexe Zahlen können in manchen Fällen ein nettes Hilfsmittel sein, um scheinbar unlösbare Gleichungen in einem größeren Zahlenbereich zu lösen.

~ Sebastian

2 thoughts on “Einführung in die komplexen Zahlen

  1. Substraktion

    Die Substraktion funktioniert analog zur Addition:

    (a + b*i) + (c + d*i) = (a – c) + (b – d)*i

    _________________________________________-

    muss es nicht heißen:
    (a – b*i) + (c – d*i) = (a – c) + (b – d)*i

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