Mengenlehre

Als nächstes Thema möchte ich die Mengenlehre einführen. Mengen sind ebenfalls sehr wichtig für die Mathematik, denn Zahlen bzw. verschiedene Objekte werden oft zu Gruppen (Mengen) zusammengeführt, um sie zu klassifizieren. Beispielsweise sind die natürlichen Zahlen (nach DIN 5473 mit der Null) eine spezielle Menge von Zahlen.

Was ist eine Menge?

Bevor wir uns den Operationen auf Mengen nähern, müssen wir erstmal wissen, was überhaupt eine Menge ist. Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter unterscheidbarer Objekte (Elemente einer Menge) zu einem Ganzen. Die Objekte müssen in irgendeiner Weise unterscheidbar sein, d.h. es gibt in einer Menge keine zwei identischen Elemente. Elemente haben keine feste Position und können beliebig angeordnet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Menge zu erzeugen:

  • \(A=\{1,2,3,….\}\) – Angabe einer Aufzählung oder Angabe aller Elemente
  • \(A=\{x \in \mathbb{Z} | x \in \mathbb{N} \wedge x \le 10 \}\) – „Filter“, wobei nur Elemente in A sind, welche den Filter passieren.
  • \(a,b,c \in A\) – Angabe über das Elementsymbol.

Operationen auf Mengen

Ohne bestimmte Operationen wären Mengen ziemlich langweilig und nutzlos. Die bekanntesten Operationen werde ich vorstellen:

  • Vereinigung
  • Schnitt
  • Komplement
  • Kartesisches Produkt
  • Symmetrische Differenz
  • Potenzmenge
  • Intervalle

Vereinigung

Die Vereinigung ist so definiert: \(A \cup B \Leftrightarrow \{ x | x \in A \vee x \in B\}\). In der Vereinigungsmenge befinden sich also alle Elemente aus den Mengen A und B. Laut der Mengendefinition dürfen keine Objekte doppelt vorhanden sein, sodass weitere identische Elemente ignoriert werden. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
\(A \cup B\) = {1,2,3,4,5}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: min(#(A),#(B))
Maximal: #(A) + #(B)

Schnitt

Der Schnitt ist das Gegenteil der Vereinigung. Bei dieser Operation werden nur Elemente übernommen, welche in beiden Grundmengen vorhanden waren. Definition: \(A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}\). Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
\(A \cap B\) = {2}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximal: min(#(A),#(B))

Komplement

Das Komplement bezeichnet eine Menge, in der nur die Elemente der Menge A ohne die Elemente der Menge B vorhanden sind. Mathematisch: \(A \backslash B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \}\). Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
\( A \backslash B\) = {1,3}

Anzahl der Elemente:
Minimum: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximum:  #(A)

Kartesische Produkt

Das kartesische Produkt liefert uns eine Menge von n-Tupeln. Tupel sind Mengen ähnlich, jedoch ist die Reihenfolge der Elemente fest. Um das kartesische Produkt zu bilden, verknüpft man jedes Element aus der Menge A mit einem Element aus der Menge B. Das kartesische Produkt der Mengen A und B kann man so definieren: \(A \times B = \{ (x, y) | x \in A \wedge y \in B \}\). Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
\(A \times B\) = {(1,2), (1,4), (1,5), (2,2), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5)}

Anzahl der Elemente: #(A) * #(B)

Anmerkung: Die Schreibweisen \(A^2\) oder \(A^*\) bzw. \(\mathbb{R}^3\) stehen einfach für die mehrfache Anwendung des kartesischen Produkts. (\(A^* = A \times A \times A \times …\)) Dadurch erhält man alle möglichen Kombinationen der Elemente. Das Koordinatensystem der 2. Dimension ist zum Beispiel nur das kartesische Produkt der reellen Zahlen.

Symmetrische Differenz

Die symmetrische Differenz kann man als eine Kombination aus Vereinigung und Schnitt bezeichnen. Dabei werden nur die Elemente übernommen, welche nicht in beiden Mengen vorhanden sind. Praktisch das Komplement der Vereinigung und des Schnittes:
\(A \triangle B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)\)
\(A \triangle B = \{ x | (x\in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)\}\)
Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
\(A \triangle B\) = {1,3,4,5}

Potenzmenge

Die Potenzmenge bezeichnet die Menge, welche alle Teilmengen der übergebenen Grundmenge enthält. Die Potenzmenge bezeichnet man einfach mit P(MENGE). Formel: \(P(A) = \{ U | U \subseteq A \}\). Beispiel:

A = {1,2,3}
P(A) = {\(\emptyset\),{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Anzahl der Elemente: \(2^{\#(A)}\)

Anmerkdung: Die leere Menge ist immer Element der Potenzmenge. Es kann daher verwirrend sein, wenn man die Potenzmenge der leeren Menge bildet, und das Ergebnis erneut potenziert:
\(P(P(\emptyset)) = P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\} \}\)

Intervalle

Die letzte Art der hier vorgestellten Mengen sind die Intervalle. Die Intervalle sind über der dichten Menge der reellen Zahlen definiert. Es gibt drei verschiedene Arten von Intervallen:

  • Offenes Intervall – ]0,1[ bzw. \(\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}\)
  • Halboffenes Intervall – ]0,1] bzw. \(\{x| 0 <  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}\)
  • Geschlossenes Intervall [0,1] bzw. \(\{x| 0 \leq  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}\)

Bei dem offenem Intervall sind die Klammern nach Außen gerichtet. Die Zahlen, die das Intervall begrenzen sind nicht in die Menge mit einbezogen (<). Beim halboffenem Intervall ist eine der beiden Klammern nach Innen gerichtet, was die entsprechende Grenze mit in die Menge einschließt. Beim geschlossenem Intervall gilt dies für beide Grenzen analog.

Die reellen Zahlen ergeben eine dichte Menge. Das heißt, zwischen zwei Zahlen liegen unendlich viele weitere Zahlen. Im Gegensatz dazu stehen die natürlichen Zahlen, bei denen genau eine Zahl auf die Andere folgt. Das folgende Beispiel soll dies darstellen:

]0,1[ = \(\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}\)
]0,1[ \(\cap \mathbb{N}\) = \(\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{N}\}\) = \(\emptyset\)

Wenn man das offene Intervall zwischen 0 und 1 mit den natürlichen Zahlen schneidet, sind in der Zielmenge nur noch die Einträge, welche ganzzahlig und positiv sind. Bei diesem Beispiel ergibt das eben die leere Menge, da es keine weiteren Zahlen zwischen 0 und 1 gibt.

Fazit

Ohne Mengen könnte die Mathematik nicht wirklich funktionieren, denn es gäbe keine Zahlenbereiche, keine Koordinatensysteme, usw. Es ist daher von Vorteil, wenn man die wichtigsten Mengenoperationen kennt, und diese anwenden kann.

~ Sebastian

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