Funktionen bzw. Abbildungen

Dieser Blogpost dreht sich um Funktion bzw. Abbildungen. Funktionen werden in der Mathematik verwendet, um Zusammenhänge zwischen zwei Elementen auszudrücken. Wie immer gibts für diese verschiedene Regeln und Definitionen, mit denen man ein wenig rumspielen kann 🙂

Was ist eine Abbildung?

Wenn man von Funktionen spricht, meint man auf totale Abbildungen. Wie in der Einleitung schon geschrieben, wird bei einer Abbildung einem Element aus dem Definitionsbereich ein Element im Wertebereich zugewiesen. Diese Elemente stehen dann miteinander in Relation. Relationen sind also der Grundbaustein für Abbildungen, auf diese werde ich aber nur kurz eingehen.

Eine Relation ist eine Menge von Tupeln, wobei oft zwei Elemente ein Tupel bilden. Diese zwei Elemente stehen dann in Relation zueinander. Für die Abbildungen müssen die Relationen verschiedene Eigenschaften erfüllen:

Zum besseren Verständnis sieht unsere Abbildung bzw. Relation folgendermaßen aus:
\(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\x \mapsto x^2\)

Die Menge A bezeichnet man als Definitionsbereich und die Menge B wird Wertebereich genannt.

Linkstotal

Die Relation muss linkstotal sein. Das bedeutet, dass jedem Element des Definitionsbereiches ein Element aus dem Wertebereich zugewiesen wird. Als Formel kann man dies so beschreiben:
\(\forall x \in A. \exists y \in B. (x,y) \in F\)

Rechtseindeutig

Die Relation muss rechtseindeutig sein. Das heißt, einem Element aus dem Definitionsbereich dürfen keine zwei Elemente des Wertebereiches zugeordnet sein. Wenn zum Beispiel f(1) = 2 und f(1) = 3 wäre, welches Funktionswert würde man wählen? Das darf bei einer Funktion nicht passieren. Formell lässt sich das so ausdrücken:
\(\forall x \in A. \forall y_1,y_2 \in B. (x,y_1) \in F \wedge (x,y_2) \in F\implies y_1 = y_2\)

Linkseindeutig

Wenn die Relation linkseindeutig ist, so kann ein Element aus dem Wertebereich nur durch höchstens ein Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ werden. Zum Beispiel ist \((-2)^2\) und \(2^2\) nicht linkseindeutig, da zwei verschiedene „x“-Werte auf das gleiche „y“ abbilden. Formell wird es so formuliert:
\(\forall x_1,x_2 \in A. \forall y \in B. (x_1,y) \in F \wedge (x_2,y) \in F \implies x_1 = x_2\)

Rechtstotal

Eine Abbildung ist rechtstotal, wenn jedes Element aus dem Wertebereich von mindestens einem Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ wird. Formell schreibt man dies so:
\(\forall y \in B. \exists x \in A. (x,y) \in F\)

Zurück zu Abbildungen

Nachdem ihr nun wisst, welche möglichen Eigenschaften die zweistellige Relation hinter eine Abbildung haben kann, sei gesagt, dass die „normalen“ Funktionen aus dem Unterricht totale Abbildungen sind. „total“ steht hierbei für linkstotal und rechtseindeutig. Diese beiden Eigenschaften muss eine Funktion besitzen, damit sie „funktioniert“ und keine partielle Abbildung darstellt.

Eigenschaften Injektiv, Surjektiv und Bijektiv

Eine Abbildung kann weitere tolle Eigenschaften besitzen. Diese drei nennen sich „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“.

Injektiv

Als injektiv bezeichnet man eine Abbildung, welche linkstotal, rechtseindeutig und dazu noch linkseindeutig ist. Das bedeutet, wie oben schon erklärt, dass jedes Element aus dem Wertebereich maximal mit einem Element aus dem Definitionsbereich in Verbindung stehen darf. Formell:
\(\forall x_1,x_2 \in A. f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\)

Nehmen wir mal die Funktion f, welche ich weiter oben definiert habe. Diese Funktion ist nicht injektiv, da zwei verschiedene x-Werte auf dasselbe y abbilden.
\((-2)^2 = 4 \Longleftrightarrow (2)^2 = 4\)

Das widerspricht der Formell, denn man kann nicht von etwas Falschem auf etwas wahres schließen. Da die erste Bedingung vor der Implikation wahr ist (beide Funktionswerte sind 4), müsste die implizierte Bedingung ebenfalls wahr sein. Das ist aber nicht der Fall, da die beiden Eingabewerte sich im Vorzeichen unterscheiden.

Das Problem können wir „umgehen“, in dem wir den Definitionsbereich der Funktion f auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach wäre die Funktion als injektiv einzuschätzen.

Surjektiv

Surjektiv nennt sich die zweite Eigenschaft, welche eine Funktion annehmen kann. Dabei bekommt sie zu den Eigenschaften linkstotal, rechtseindeutig, die Eigenschaft rechtstotal. Bildlich bedeutet das, dass jeder mögliche Funktionswert aus dem Wertebereich getroffen werden muss. Als Formal beschreibt man diese Eigenschaft folgendermaßen:
\(\forall y \in B. \exists x \in A. y = f(x) \)

Bei unserer quadratischen Funktion können wir folgern, dass die Funktion ebenfalls nicht surjektiv ist, da der Wertebereich die reellen Zahlen sind und wir aber nur die positiven Zahlen erreichen können. Auch dieses mal können wir das Problem ausbügeln, wenn wir den Wertebereich auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach werden alle Elemente aus dem Wertebereich „getroffen“, und die Eigenschaft ist erfüllt.

Bijektiv

Wir nennen eine Funktion bijektiv, falls die Funktion injektiv und surjektiv ist. Ist dies der Fall, so lässt sich für die bijektive Funktion eine Umkehrfunktion bilden. Die Umkehrfunktion bildet, wie der Name vermuten lässt, vom Wertebereich in den Definitionsbereich ab.

Fazit

Ich hoffe, ich konnte euch das Thema „Abbildungen“ ein wenig näher bringen. Es ist auf jeden Fall sinnvoll zu wissen, wann eine Funktion eine Umkehrabbildung. Ansonsten macht es Spaß mit den verschiedenen Eigenschaften rum zuhantieren.

~ Sebastian

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