Ein alternativer Zugang zur Gaußschen Summenformel

Die Gaußsche Summenformel beschreibt einen Zusammenhang, der seit bald 4000 Jahren bekannt ist und vor 200 Jahren legendär von Carl Friedrich Gauß wiederentdeckt wurde. Vor einigen Jahren stieß ich selbst bei der Lösung eines mathematischen Problems unbeabsichtigt auf eine Formel, die – wie sich später herausstellen sollte – nichts weiter als die Gaußsche Summenformel war, allerdings von einem völlig anderen Ausgangspunkt betrachtet.

Ausgangspunkt des Problems

Natürlich hat jeder hier und da bereits von der berühmten Summenformel gehört, mir allerdings hat die persönliche Wiederentdeckung (der Wiederentdeckung) dieses uralten Zusammenhangs [1] im Bezug auf das Verständnis desselben ein wenig die Augen geöffnet.

Entsprechend gestapelte Kugeln

Abb. 1: Entsprechend gestapelte Kugeln

Ich erinnere mich gut an den Ausgangspunkt meiner Überlegungen, den ich aus meiner Kindheit mitgebracht habe: Wenn ich eine gewisse Anzahl von Bauklötzen, Würfeln, Murmeln, etc. habe, kann ich diese pyramidenförmig bzw. in Form eines Dreiecks übereinander stapeln. Die Frage ist dann, aus wie vielen Elementen ein solches in Abb. 1 dargestelltes gestapeltes Konstrukt besteht, oder was für mich noch interessanter war: Aus wie vielen Elementen muss die erste Reihe bestehen?
Immerhin ist es sehr problematisch, wenn man sich mit dem Aufbau einer solchen „Pyramide“ Mühe gegeben hat und an der Spitze aufgrund von fehlenden Elementen das Konstrukt nicht zu Ende bauen kann, weil man sich beim Bau der untersten, ersten Reihe verschätzt hatte. Oder wenn man beim Abschätzen der Anzahl für die erste Reihe zu vorsichtig war und am so viele Elemente übrig hat, dass eine weitere unterste Reihe noch möglich gewesen wäre.

Was damals nur durch probieren möglich war, sollte nun mathematisch beschrieben werden. Eine bestimmte Anzahl von Elemente so übereinander zu stapeln, dass nur ein geringstmöglicher Rest übrig bleibt – wenn die Regel gilt, dass eine obere Reihe immer ein Element weniger beinhalten soll, als die Reihe darunter.

Herangehensweise

Meine Herangehensweise begann damit, einen Zusammenhang experimentell zu finden. Dazu zeichnete ich aus Kreisen bestehende Dreiecke, deren Reihenzahl von 1 bis 10 anstieg und zählte daraufhin die Gesamtzahl der Kreise pro Dreieck:

r = Anzahl der Elemente in 1. Reihe, n = Gesamte Anzahl der Elemente

Abb. 2: r = Anzahl der Elemente in 1. Reihe, n = Gesamte Anzahl der Elemente

Hierbei ist einfach ersichtlich, dass die Gesamtanzahl n einer Reihe r um r Elemente größer ist, als die Anzahl n aller Elemente bei der vorherigen Reihe r – 1. Ist also bekannt, dass ein Dreieck mit r = 4 eine Gesamtzahl von 10 Elementen aufweist, so ist besitzt das darauf folgende Dreieck (mit r = 5) 10 + 5, also 15 Elemente usw.

Dies ließe sich mathematisch als Reihe beschreiben, allerdings wollte ich den Zusammenhang als Formel erfassen, da das Hauptaugenmerk ja darauf lag, aus einer beliebigen, gegebenen Anzahl von Elementen herauszufinden, aus wie vielen Elementen die erste Reihe bestehen muss. Hilfreich ist die Darstellung in Form einer Tabelle:

Reihe r Anzahl n Zusammenhang
1 1  \(n = r\)
2 3 \(n = r + \frac{r}{2}\)
3 6  \(n = 2r\)
4 10 \(n = 2r + \frac{r}{2}\)
5 15 \(n = 3r\)
6 21 \(n = 3r + \frac{r}{2}\)
7 28 \(n = 4r\)
8 36  \(n = 4r + \frac{r}{2}\)
9 45 \(n = 5r\)
10 55  \(n = 5r + \frac{r}{2}\)

Bei genauer Betrachtung lässt sich hierbei erstmals ein Zusammenhang erkennen, der sich mittels zwei Formeln bzw. vereinfacht mit einer Formel allgemein beschreiben lässt: Die Anzahl n für

  • alle ungeraden r: \(n = \frac{r+1}{2} * r = (\frac{r}{2} + \frac{1}{2}) * r = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}\)
  • alle geraden r: \(n = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}\)

Unsere Formel ist also identisch mit der Gaußschen Summenformel:

\(n = \frac{r^2+r}{2}\)

Berechnung von r

Diese Tatsache war mir zum damaligen Zeitpunkt noch nicht bewusst, ich war weiterhin der Meinung, mich mit einer Art Fakultät für Summen zu beschäftigen. Allerdings hatte ich mein Ziel zu diesem Zeitpunkt auch noch nicht erreicht, weil ich ja ursprünglich, sozusagen umgekehrt, aus einer gegebenen Gesamtanzahl n die Anzahl der Elemente r in der unterste Reihe errechnen wollte. Dazu wird die Formel nach r umgestellt:

\(r = \frac{\sqrt{8n + 1} – 1}{2}\)

Dieses Vorhaben (welches sich übrigens als anspruchsvoller als gedacht erwies) liefert uns eigentlich zwei Lösungen, allerdings kann die Lösung mit negativer Wurzel vernachlässigt werden, weil unser Ergebnis positiv sein muss.

Beispiel

Wäre mir dieser Zusammenhang nun bereits als Kleinkind bewusst gewesen, hätte ich folgendermaßen vorgehen müssen, um beispielsweise 85 Bauklötze zur höchstmöglichen Pyramide zu stapeln (wobei die Pyramide eher ein Dreieck im Raum ist):

\(\frac{\sqrt{8*85 + 1} – 1}{2} \cong \left \lfloor 12,548 \right \rfloor = 12\)

Das Ergebnis muss in jedem Fall abgerundet werden, da wir davon ausgehen müssen, dass ein Rest übrig bleibt, sofern das Ergebnis Nachkommastellen aufweist (die Abrundungsfunktion wurde übrigens auch von Gauß geprägt). Das abgerundete Ergebnis kann in die ursprüngliche Formel (Gaußsche Summenformel) eingesetzt werden:

\(\frac{12^2+12}{2} = 78\)

Daraus lässt sich ablesen, dass wir für das Vorhaben, aus unseren 85 Bauklötzen eine möglichst große Pyramide zu bauen, mit einer untersten Reihe aus 12 Klötzen starten sollten und die gesamte Pyramide am Ende aus 78 Bauklötzen besteht und somit 85 – 78 = 7 Bauklötze übrig bleiben.

Weiterführende Überlegungen

Begeistert diesem Problem endlich auf den Grund gegangen zu sein, habe ich diese Berechnungen für (richtige) Pyramiden im 3-Dimensionalen (Tetraeder) und undefinierte Gebilde im mehrdimensionalen Raum erweitert. Und da es sich (zumindest im 2-Dimensionalen Raum) um gleichseitige Dreiecke handelt kann mittels \(A_\bigtriangleup = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{(kr)^2+kr}{2k^2}\) der Flächeninhalt solcher durch unendlich klein werdende Elemente berechnet werden.

Während ich dabei war, diese Formel zur Flächenberechnung beliebiger Dreiecke anzuwenden, indem diese zu gleichseitigen transformiert werden, kam mir zufällig die Gaußsche Summenformel vor die Augen. Wie unschwer zu erkennen ist, lautet diese Formel genau wie jene von mir entdeckte und durch diese Erkenntnis „wach gerüttelt“ stieß ich in weiterer Folge auf figurierte Zahlen, Dreieckszahlen und auch Tetraederzahlen, die sämtliche vermeintlich neue Erkenntnisse bereits dokumentieren.

Gelernt habe ich, dass es sich immer lohnt, im Falle eines mathematischen Problems zuerst Google zu bemühen, weil die Lösung mit hoher Wahrscheinlichkeit bereits im Internet zu finden ist. Andererseits konnte ich mir die Gaußsche Summenformel durch meinen unorthodoxen Zugang komplett selbst erschließen, was mir persönlich aus mathematischer Sicht völlig neue Erkenntnisse lieferte.

Literatur

[1] Vgl. Neugebauer, Otto: Vorgriechische Mathemathik. In: Eckmann B. u. van der Waerden B. L. (Hg.): Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag 1969, S. 172

 

~ Marcus

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