Ausgangspunkt des Problems

Natürlich hat jeder hier und da bereits von der berühmten Summenformel gehört, mir allerdings hat die persönliche Wiederentdeckung (der Wiederentdeckung) dieses uralten Zusammenhangs [1] im Bezug auf das Verständnis desselben ein wenig die Augen geöffnet.

Abb. 1: Entsprechend gestapelte Kugeln

Ich erinnere mich gut an den Ausgangspunkt meiner Überlegungen, den ich aus meiner Kindheit mitgebracht habe: Wenn ich eine gewisse Anzahl von Bauklötzen, Würfeln, Murmeln, etc. habe, kann ich diese pyramidenförmig bzw. in Form eines Dreiecks übereinander stapeln. Die Frage ist dann, aus wie vielen Elementen ein solches in Abb. 1 dargestelltes gestapeltes Konstrukt besteht, oder was für mich noch interessanter war: Aus wie vielen Elementen muss die erste Reihe bestehen?
Immerhin ist es sehr problematisch, wenn man sich mit dem Aufbau einer solchen „Pyramide“ Mühe gegeben hat und an der Spitze aufgrund von fehlenden Elementen das Konstrukt nicht zu Ende bauen kann, weil man sich beim Bau der untersten, ersten Reihe verschätzt hatte. Oder wenn man beim Abschätzen der Anzahl für die erste Reihe zu vorsichtig war und am so viele Elemente übrig hat, dass eine weitere unterste Reihe noch möglich gewesen wäre.

Was damals nur durch probieren möglich war, sollte nun mathematisch beschrieben werden. Eine bestimmte Anzahl von Elemente so übereinander zu stapeln, dass nur ein geringstmöglicher Rest übrig bleibt – wenn die Regel gilt, dass eine obere Reihe immer ein Element weniger beinhalten soll, als die Reihe darunter.

Herangehensweise

Meine Herangehensweise begann damit, einen Zusammenhang experimentell zu finden. Dazu zeichnete ich aus Kreisen bestehende Dreiecke, deren Reihenzahl von 1 bis 10 anstieg und zählte daraufhin die Gesamtzahl der Kreise pro Dreieck:

Abb. 2: r = Anzahl der Elemente in 1. Reihe, n = Gesamte Anzahl der Elemente

Hierbei ist einfach ersichtlich, dass die Gesamtanzahl n einer Reihe r um r Elemente größer ist, als die Anzahl n aller Elemente bei der vorherigen Reihe r – 1. Ist also bekannt, dass ein Dreieck mit r = 4 eine Gesamtzahl von 10 Elementen aufweist, so ist besitzt das darauf folgende Dreieck (mit r = 5) 10 + 5, also 15 Elemente usw.

Dies ließe sich mathematisch als Reihe beschreiben, allerdings wollte ich den Zusammenhang als Formel erfassen, da das Hauptaugenmerk ja darauf lag, aus einer beliebigen, gegebenen Anzahl von Elementen herauszufinden, aus wie vielen Elementen die erste Reihe bestehen muss. Hilfreich ist die Darstellung in Form einer Tabelle:

Bei genauer Betrachtung lässt sich hierbei erstmals ein Zusammenhang erkennen, der sich mittels zwei Formeln bzw. vereinfacht mit einer Formel allgemein beschreiben lässt: Die Anzahl n für

• alle ungeraden r: [latex]n = \frac{r+1}{2} * r = (\frac{r}{2} + \frac{1}{2}) * r = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}[/latex]
• alle geraden r: [latex]n = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}[/latex]

Unsere Formel ist also identisch mit der Gaußschen Summenformel:

[latex]n = \frac{r^2+r}{2}[/latex]

Berechnung von r

Diese Tatsache war mir zum damaligen Zeitpunkt noch nicht bewusst, ich war weiterhin der Meinung, mich mit einer Art Fakultät für Summen zu beschäftigen. Allerdings hatte ich mein Ziel zu diesem Zeitpunkt auch noch nicht erreicht, weil ich ja ursprünglich, sozusagen umgekehrt, aus einer gegebenen Gesamtanzahl n die Anzahl der Elemente r in der unterste Reihe errechnen wollte. Dazu wird die Formel nach r umgestellt:

[latex]r = \frac{\sqrt{8n + 1} – 1}{2}[/latex]

Dieses Vorhaben (welches sich übrigens als anspruchsvoller als gedacht erwies) liefert uns eigentlich zwei Lösungen, allerdings kann die Lösung mit negativer Wurzel vernachlässigt werden, weil unser Ergebnis positiv sein muss.

Beispiel

Wäre mir dieser Zusammenhang nun bereits als Kleinkind bewusst gewesen, hätte ich folgendermaßen vorgehen müssen, um beispielsweise 85 Bauklötze zur höchstmöglichen Pyramide zu stapeln (wobei die Pyramide eher ein Dreieck im Raum ist):

[latex]\frac{\sqrt{8*85 + 1} – 1}{2} \cong \left \lfloor 12,548 \right \rfloor = 12[/latex]

Das Ergebnis muss in jedem Fall abgerundet werden, da wir davon ausgehen müssen, dass ein Rest übrig bleibt, sofern das Ergebnis Nachkommastellen aufweist (die Abrundungsfunktion wurde übrigens auch von Gauß geprägt). Das abgerundete Ergebnis kann in die ursprüngliche Formel (Gaußsche Summenformel) eingesetzt werden:

[latex]\frac{12^2+12}{2} = 78[/latex]

Daraus lässt sich ablesen, dass wir für das Vorhaben, aus unseren 85 Bauklötzen eine möglichst große Pyramide zu bauen, mit einer untersten Reihe aus 12 Klötzen starten sollten und die gesamte Pyramide am Ende aus 78 Bauklötzen besteht und somit 85 – 78 = 7 Bauklötze übrig bleiben.

Weiterführende Überlegungen

Begeistert diesem Problem endlich auf den Grund gegangen zu sein, habe ich diese Berechnungen für (richtige) Pyramiden im 3-Dimensionalen (Tetraeder) und undefinierte Gebilde im mehrdimensionalen Raum erweitert. Und da es sich (zumindest im 2-Dimensionalen Raum) um gleichseitige Dreiecke handelt kann mittels [latex]A_\bigtriangleup = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{(kr)^2+kr}{2k^2}[/latex] der Flächeninhalt solcher durch unendlich klein werdende Elemente berechnet werden.

Während ich dabei war, diese Formel zur Flächenberechnung beliebiger Dreiecke anzuwenden, indem diese zu gleichseitigen transformiert werden, kam mir zufällig die Gaußsche Summenformel vor die Augen. Wie unschwer zu erkennen ist, lautet diese Formel genau wie jene von mir entdeckte und durch diese Erkenntnis „wach gerüttelt“ stieß ich in weiterer Folge auf figurierte Zahlen, Dreieckszahlen und auch Tetraederzahlen, die sämtliche vermeintlich neue Erkenntnisse bereits dokumentieren.

Gelernt habe ich, dass es sich immer lohnt, im Falle eines mathematischen Problems zuerst Google zu bemühen, weil die Lösung mit hoher Wahrscheinlichkeit bereits im Internet zu finden ist. Andererseits konnte ich mir die Gaußsche Summenformel durch meinen unorthodoxen Zugang komplett selbst erschließen, was mir persönlich aus mathematischer Sicht völlig neue Erkenntnisse lieferte.

Literatur

[1] Vgl. Neugebauer, Otto: Vorgriechische Mathemathik. In: Eckmann B. u. van der Waerden B. L. (Hg.): Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag 1969, S. 172

~ Marcus

Spannung oder Stromstärke?

Irrtümlicherweise wird die Spannung oft als alleiniges Merkmal herangezogen, wenn es um die Beurteilung der Gefahr geht, welche von einem stromdurchflossenen Leiter ausgeht. Da man diese Behauptung mittels der elektrostatischen Entladung zum Beispiel auf Teppichen (bei etwa 30kV) einfach widerlegen kann, wird auch vermehrt davon ausgegangen, dass ja dann die Stromstärke als Kriterium herhalten muss. Was passiert also, wenn ich die Elektroden eines Lichtbogenschweißgeräts (ca. 100A) anfasse?

Überhaupt nichts. Warum das so ist und wovon die Gefährlichkeit eines elektrischen Schlags abhängt, soll im Folgenden geklärt werden.

Spannung

Der wesentliche Kerngedanke der Antwort auf die ganze Fragerei ist die Berücksichtigung des Körperwiderstandes. Der Körperwiderstand wird in der Literatur beim Menschen mit im Durchschnitt 1000 Ohm angegeben. Dabei ist der Widerstand natürlich von verschiedenen Faktoren abhängig, zum Beispiel der Hautbeschaffenheit oder dem Feuchtigkeitsgehalt der Haut. Unser Körper ist nämlich so lange ein Isolator, bis der Körperwiderstand von ca. 1kΩ nicht mehr ausreicht, um beispielsweise von einer Anode der rechten Hand den Stromfluss zur Kathode in der linken Hand zu unterbinden. Aus diesem Grund hat die VDE folgende Richtlinien in Deutschland festgelegt:
Die maximale Berührungsspannung liegt bei 50V AC sowie 120V DC (mehr zu AC/DC folgt).

Das ist auch der Grund, weshalb man auch bei noch so großer Stromstärke im Optimalfall (trockene Haut, kein Metallschmuck, …) bei Spannungen unter der angegebenen Grenze davon überhaupt nichts mitbekommt. Während ein zwischen die Pole geklemmter Draht an einer Autobatterie dank dem verhältnismäßig hohem Kurzschlussstrom sofort verglühen würde, könnte man beide Kontakte gefahrlos anfassen (wobei man dies möglichst unterlassen sollte).

Stromstärke

Pauschal lässt sich über die letale Stromstärke keine eindeutige Antwort finden, jedoch werden als Grenze ca. 10mA AC und 300mA DC angesehen, wobei bereits vorher unkontrollierbare Muskelkontraktionen inklusive lebensbedrohlichem Kammerflimmern des Herzens sehr wahrscheinlich auftreten können. Der große Unterschied zwischen Gleich- und Wechselstrom kommt daher, dass bei einem Gleichstromunfall dem Körper ein konstanter Reiz zugeführt wird, während bei standardmäßigem Wechselstrom mit 50Hz die Muskeln 100 Mal pro Sekunde gereizt werden. Eine besondere Gefahr stellt auch die sog. „Loslassschwelle“, welche bei 10mA AC liegt, dar. Durch eine Verkrampfung der Muskeln (besonders der stärker ausgebildeten „Beuger“) ist ein Loslassen des Leiters nicht möglich, was die Einwirkzeit noch zusätzlich verlängert.

Werden geringe Spannungen von etwa 9V oder 12V auf mehrere Kilovolt hochtransformiert, so ist durch den Trafo bedingt die Stromstärke am Ausgang so gering, dass sie einen Menschen nicht lebensbedrohlich schaden kann (bspw. Elektroschocker, Weidezaun, …). Die kurze Einwirkdauer zwischen 1ms und 100ms begünstigt dies zusätzlich. Was folgt ist dann der klassische „Stromschlag“, der sich wie eine Art schmerzhafter Schock bemerkbar macht.

Zusätzliche Gefahren des Wechselstroms

Legt man die man die Fakten der Gefahr, ausgehend von Gleichstrom (DC) und Wechselstrom (AC) dar, so könnte man meinen, dass Gleichstrom in der Summe ungefährlicher als Wechselstrom ist. Allerdings gehen vom Wechselstrom lediglich einige besondere Gefahren aus.

Da wären zum einen die Loslassschwelle, die beim Gleichstrom nicht vorhanden ist, bei einem Wechselstromunfall aber dazu führt, dass der stromdurchflossene Leiter nicht losgelassen werden kann. Außerdem sorgt die schnell wechselnde Polarität dafür, dass die Ionen in den Ionenkanälen ständig einem abwechselnd positiven und negativen elektrischen Feld ausgesetzt sind. Dies bleibt natürlich nicht ohne Folge für die Muskeln, welche von den Ionenkanälen gesteuert werden, schon gar nicht für den Herzmuskel.

Wie oft die Polarität pro Sekunde wechselt wird als Frequenz angegeben, für gewöhnlich hat unser Wechselstrom aus der Steckdose eine Frequenz von 50Hz. Die Frequenz kann, bezogen auf die Gefährlichkeit des Stromschlags, eine entscheidende Rolle spielen: Je höher die Frequenz nämlich ist, desto mehr macht sich der sog. Skin-Effekt bemerkbar. Das bedeutet, dass bei hochfrequentem Wechselstrom an der Oberfläche, durch entstehende Wirbelströme bedingt, eine (exponentiell) höhere Stromdichte vorliegt, als im Inneren des Leiters. Im Umkehrschluss und auf den menschlichen Körper bezogen heißt das, dass das Gewebe kaum stromdurchflossen wird, während das elektrische Feld fast vollständig auf den obersten Hautschichten (an der Oberfläche) abgeleitet wird. Da die Haut ja als verhältnismäßig guter Isolator fungiert, bleibt ein solcher Stromunfall, wie beispielsweise durch einen überspringenden Lichtbogen verursacht, für den Menschen ohne Folgen.
Ab etwa 100kHz – 300kHz führt der Strom zusätzlich zu keinem Polaritätswechsel in den Ionenkanälen mehr, da die Ionenleitungen schlicht zu träge sind, um solch schnellen Wechseln der Polarität zu folgen. Nur so kann beispielsweise das Anfassen der Lichtbögen einer Teslaspule ungefährlich bleiben.

Auswirkungen eines Stromunfalls

Wie wir nun wissen ist die Stromstärke bei einem Stromunfall eher zweitrangig. Erst wenn die Spannung die jeweilige Berührungsspannung übersteigt, ist der Körperwiderstand überwunden und ab diesem Zeitpunkt entscheidet die Stromstärke über Leben und Tod. Das hängt natürlich auch davon ab, welchen Weg der Strom im Körper nimmt bzw. wo Eintritts- und Austrittspunkt sind oder ob man geerdet ist.

Ist der Körperwiderstand erstmal überwunden, werden voraussichtlich die Muskeln als erstes einen „Schlag“ erfahren, bei Wechselstrom greift zusätzlich schon bei geringer Stromstärke die Loslassschwelle. Das wiederum kann bei einer Verkrampfung des Zwerchfells Atemstillstand zur Folge haben oder wenn der Strom über das Herz geleitet wird, auch Herzkammerflimmern als Langzeitfolge, da das Herz kurzzeitig gezwungen wird, sich an die schnelle Frequenz anzupassen. Wichtig ist zusätzlich die Einwirkdauer des Stroms, ist man diesem „längere“ Zeit ausgesetzt, könnten noch weitere Effekte wie die Gasbildung in den Blutbahnen durch Elektrolyse des Blutes auftreten. Dadurch dass der Körper auch bei überwundenem Körperwiderstand noch immer als Widerstand fungiert, wird außerdem nicht gerade Wenig Leistung an diesem Abfallen, was sich in Form von starken Erwärmungen besonders an den Ein- und Austrittsstellen bemerkbar macht und insbesondere dem Gewebe durch innere Verbrennungen schadet.

Letztendlich nehmen also Spannung, Stromstärke und eventuell die Frequenz am meisten direkten Einfluss darauf, wie gefährlich elektrischer Strom für den Menschen ist. Zusätzlich können die Umgebungsbedingungen den Ausgang eines Stromunfalls drastisch beeinflussen.

Quellen

• hea.de
• vbg.de
• wikipedia.org

~ Marcus

Definition

Jede komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil. Daraus können wir schließen, dass jede reelle Zahl ebenso eine komplexe Zahl ohne Imaginärteil ist. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Die Zahlen sind folgendermaßen aufgebaut:

a + b*i

wobei

• Realteil: Re(a+b*i) = a
• Imaginärteil: Im(a+b*i) = b

Weiterhin ist folgendes festgelegt:

• i = [latex]sqrt(-1)[/latex]
• [latex]i^2[/latex] = -1
• [latex]i^3[/latex] = [latex]i^2*i[/latex] = -i
• [latex]i^4[/latex] = [latex]i^2*i^2[/latex] = 1
• usw.

Wie man sieht, scheinen die komplexen Zahlen sehr nützlich zu sein. Man kann damit Gleichungen lösen, welche zuvor als „unlösbar“ bekannt waren. 

Rechnen mit komplexen Zahlen

Damit wir mit den komplexen Zahlen richtig arbeiten können, müssen wir uns die grundlegenden Rechenoperationen anschauen.

Addition

Die Addition ist sehr einfach, da einfach der Real- bzw. Imaginärteil separat addiert wird.

(a + b*i) + (c + d*i) = (a + c) + (b + d)*i

Substraktion

Die Substraktion funktioniert analog zur Addition:

(a + b*i) + (c + d*i) = (a – c) + (b – d)*i

Multiplikation

Die Multiplikation ist etwas umständlicher, aber trotzdem leicht zu merken:

(a + b*i)* (c + d*i) = (a*c – b*d) + (a*d + b*c)*i

Division

Um die Division durchführen zu können, solltet ihr erstmal einen Blick auf die komplexe Konjugation werfen. Diese brauchen wir, um den Bruch damit zu erweitern.

[latex]\frac{(a + b*i)}{(c + d*i)} = \frac{(a + b*i)*(c – d*i)}{(c + d*i)*(c – d*i)} = \frac{a*c + b*d}{c^2 + d^2} + \frac{b*c – a*d}{c^2 + d^2} *i[/latex]

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl kann leicht mit der folgenden Formel berechnet werden:

[latex]|z| = sqrt(Re(z)^2 + Img(z)^2 )[/latex]

Komplex Konjugation

Bei der komplexen Konjugation dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils um.

[latex] \overline{a + b*i} = a – b*i[/latex]

Beispiel

Um die Anwendung ein wenig zu verdeutlichen, mache ich ein kleines Beispiel dazu.

[latex]
\begin{align*}
x^2+1 = &0\\
x^2 =& -1\\
x = &sqrt(-1)\\
x = & i
\end{align*}[/latex]

Bevor ihr jedoch mit komplexen Zahlen rum rechnet, müsst ihr sichergehen, dass der Zahlenbereich das zulässt. Ansonsten ist die Lösung nicht zulässig.

Fazit

Komplexe Zahlen können in manchen Fällen ein nettes Hilfsmittel sein, um scheinbar unlösbare Gleichungen in einem größeren Zahlenbereich zu lösen.

~ Sebastian

Geschichte des Rizin

Rizinussamen

Allgemeine Bekanntheit erlangte Rizin bereits 1978 mit dem berüchtigten „Regenschirmattentat“. Hierbei wurde dem bulgarischen Schriftsteller Georgi Markow, wohlmöglich im Auftrag den bulgarischen Geheimdienstes, 40 Mikrogramm Rizin injiziert, was drei Tage später zum Tod des Opfers führte.
Dass bei den auftretenden Symptomen wie Fieber, Durchfall und Blutdruckabfall (und später Herzstillstand) niemand Rizin als Ursache sah, ist nicht verwunderlich. Doch selbst wenn, wäre jede Hilfe zu spät gekommen: Bis heute gibt es kein wirksames Antidot gegen eine Vergiftung mit Rizin.

Vorfinden lässt sich das Gift in des Samen des Wunderbaums. Diese Pflanze lässt sich besonders in den tropischen Klimazonen vorfinden und wird unter anderem dazu genutzt, um Rizinusöl zu gewinnen, welches eine abführende Wirkung besitzt und frei erhältlich ist. Es wird aus den Rizinussamen gepresst, enthält jedoch kein Rizin, weil das Gift nicht fettlöslich ist. Da bereits 22µg pro Kilogramm Körpergewicht als mittlere letale Dosis angenommen wird (andere Quellen berichten sogar von nur ca. 3-5µg), gelten schon wenige Samen (etwa 1-5) als tödlich.

Wirkung

Biochemisch gesehen ist Rizin ein pflanzliches Eiweißgift und stellt dank seiner Funktion im Körper ein besonderes Gefahrenpotential dar. Rizin verhält sich im Körper bzw. in der Zelle wie ein körpereigenes Enzym. Doch was ist die Aufgabe von Enzymen?

Enzyme (ein gesonderter Artikel zu Enzymen folgt in Kürze) sind besondere Proteine, welche die Aufgabe im Körper haben, bestimmte Reaktionen zu katalysieren, also zu begünstigen, oder gar erst zu ermöglichen. Dabei bestehen Enzyme in der Regel aus einem aktiven Zentrum, wo das passende Substrat umgesetzt wird und einem allosterischen Zentrum, an welches sich spezielle Moleküle binden können, zum Beispiel um das Enzym in seiner Tätigkeit zu hemmen oder zu aktivieren.

Rizin besteht als Protein selbst nun aus zwei gesonderten Teilen. Nachdem der eine Teil seine Aufgabe, an die Zelle anzudocken und den zweiten Teil ins Cytoplasma, also das Innere der Zelle, einzuschleusen erledigt hat, tritt nun dieser in Aktion.
Folgendes Szenario ist demnach für die außerordentliche Giftigkeit von Rizin verantwortlich: Es gelangt zum Ribosom, einer Zellorganelle, welche für die Proteinbiosynthese zuständig ist und spaltet dort die Base Adenin von der RNA ab. Die RNA ist sozusagen der Bauplan für Eiweiße, welche im Ribosom hergestellt werden. Wie es für Katalysatoren üblich ist, werden diese bei der Reaktion nicht selbst umgesetzt, sodass ein Molekül Rizin von neuem beginnt und die gesamte Zelle lahmlegen kann, da die Proteinbiosynthese mit der Zeit nicht mehr ordnungsgemäß funktionieren kann.
Ribosomen finden sich in sämtlichen eukaryotischen Zellen – genug Angriffsfläche für das Gift ist also vorhanden.

Gebrauch als Biowaffe

Geschätzt wird Rizin bei Attentaten nicht nur wegen seiner Wirkung, sondern auch, weil es sich schwer nachweisen lässt. Nachweisen lässt sich Rizin in forensischen Untersuchungen durchaus – nur sind Rizinvergiftungen nicht allzu üblich, bei Symptomen wie Fieber und Durchfall würde wohl auch ein Arzt zuerst auf eine gewöhnliche Magen-Darm-Grippe oder ähnliches tippen.
Dadurch, dass die Aufnahme von Rizin nicht nur oral, sondern auch nasal oder über die Haut resorbiert erfolgen kann, lassen sich keine pauschalen Symptome festlegen, an denen man eine Rizinvergiftung ausmachen kann. Denn je nach Applikationsweg sind unterschiedliche Zellen betroffen, deren Fehlfunktionen sich mit verschiedenen Symptomen auf die Vergiftung auswirken.

Medizinische Bedeutung

Wirklich von Belang ist die Tatsache, dass eine Rizinvergiftung oft erst post mortem, wenn es leider bereits zu spät ist, festgestellt wird nicht, denn auch wenn eine solche Vergiftung rechtzeitig erkannt wird, muss das Opfer in wenigen Tagen nach der Verabreichung einer tödlichen Dosis unweigerlich sterben, da es derzeit kein Gegengift auf dem Markt gibt.
Verfügbar sind heute Gegenmittel, die eine Vergiftung verhindern können, sofern diese vor der Rizinaufnahme verabreicht werden. Allerdings ist die Forschung zurzeit bereits in der Lage zu wissen, dass das Protein Gpr107 in der Zelle ein Ansatzpunkt für Rizin ist, bevor es seine toxische Wirkung entfaltet; es ist also direkt daran beteiligt. Weil Zellen ohne besagtem Protein eine Immunität gegenüber Rizin aufweisen, liegt es auf der Hand, dass der Wirkstoff eines neuartigen Gegenmittels ein „kleines Molekül“ sein wird, welches als Inhibitor wirkt, also die Funktion des Proteins Gpr107 hemmt bzw. es gänzlich deaktiviert.

Im Gespräch ist Rizin derzeit als experimentelles Antibiotikum gegen Krebs – sofern es möglich wäre, dass sich das Eiweißgift, zum Beispiel wie die neuartigen Endiin-Antibiotika, gezielter triggern ließe, sodass ausschließlich Krebszellen von Rizin zerstört werden.

Unberechtigtes Medieninteresse?

Außer dem populären Regenschirmattentat sind nur noch eine Handvoll weiterer Vergiftungen mit Rizin bekannt, bei denen die meisten nicht als Mordfälle eingestuft werden können, da die Vergiftung durch die Samen des Wunderbaums durch Unachtsamkeit selbst zugezogen wurde. Rizin ist also wirklich kein Mordgift, das man überall zu fürchten hättte.

Rizinusschrot dagegen ist nach fachgerechter Verarbeitung ein zugelassenes Düngemittel und der Rückstand, der bei der Rizinusölproduktion zurückbleibt. Er enthält also das Eiweißgift Rizin. Da Eiweiße bei Hitze denaturieren, soll der Dünger auf diese Weise unschädlich gemacht werden, was aber nicht immer gelingt. Vor noch nicht allzu langer Zeit erlitten einige Hunde eine tödliche Rizinvergiftung, da sie versehentlich vom fehlerhaft verarbeiteten Dünger gegessen hatten.

Quellen

• n-tv.de
• chemie.de
• orf.at
• wikipepdia.org

~ Marcus

Es lässt sich mittels vollständiger Induktion leicht zeigen, dass wenn eine Aussage für ein kleinstes [latex]x_0[/latex] der natürlichen Zahlen gilt, dass dies auch für die Nachfolger des [latex]x_0[/latex] gilt.

Aufbau der vollständigen Induktion

Die Beweise werden immer nach dem gleichen Muster geführt. Das Muster besteht dabei aus vier Abschnitten, welche man sich leicht merken kann.

Induktionsanfang (I.A.)

In diesem Schritt zeigt man, dass eine Aussage für das kleinste [latex]x_0[/latex] über der natürlichen Menge gilt. Dies muss nicht immer die null sein, sondern auch andere Zahlen in [latex]\mathbb{N}[/latex], solange sie die untere Grenze darstellt.

Induktionsvoraussetzung (I.V)

Dieser Schritt besteht eigentlich im Abschreiben der zu beweisenden Aussage. Wenn wir wissen, dass die Aussage für den I.A. gilt, dann ist diese Aussage die Voraussetzung für die Nachfolger der unteren Grenze.

Induktionsbehauptung (I.B.)

Bei der Induktionsbehauptung ersetzen wir die zu beweisende Variable (oft n) durch n+1. Das soll unsere Behauptung darstellen: Die Aussage muss auch für den Nachfolger von n gelten.

Induktionsschritt (I.S.)

Der Induktionsschritt ist der rechenintensivste Schritt. Hier müssen wir zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung gilt. Dabei nimmt man sich die Induktionsbehauptung und formt diese nach-und-nach um, bis man die Induktionsvoraussetzung nutzen kann, um den Beweis abzuschließen.

Praxisbeispiel

Folgend werden wir eine vollständige Induktion durchführen. Dabei beweisen wir diese Behauptung: [latex]\forall x \in \{ x | x \in \mathbb{N} \wedge x \geq 3 \}. n^2 \gt 2n+1[/latex]

I.A. n=3: [latex]n^2 \gt 2n+1 \Longleftrightarrow 9 \gt 7[/latex]

Wir haben einfach die niedrigste Zahl, in dem Fall die 3, in die Ungleichung eingesetzt. Diese ist wahr, sodass wir weitermachen können.

I.V. [latex]n^2 \gt 2n+1[/latex]

Wir schreiben unsere Voraussetzung auf.

I.B. [latex](n+1)^2 \gt 2(n+1)+1[/latex]

Wir behaupten, dass die Aussage auch für das nächst größere n gelten muss.

I.S. [latex](n+1)^2 =n^2 + 2n +1 \stackrel{I.V.}{\gt} 2n+1 + 2n+1 = 4n+2\gt 2n+3 =2(n+1)+1[/latex]

Wir lösen zunächst die linke Seite auf, nutzen danach unsere Induktionsvoraussetzung, um [latex]n^2[/latex] durch [latex]2n+1[/latex] zu ersetzen. Daraus ergibt sich dann [latex]4n+2[/latex], was echt größer als die rechte Seite ist.

Alle Induktionsbeweise folgen diesem Schema im Induktionsschluss. Man formt einen Teil solange um, bis man die Voraussetzung nutzen kann, um zum Ergebnis zu gelangen.

Fazit

Man kann viele Aussagen bzw. Eigenschaften mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.

~Sebastian

Was ist eine Abbildung?

Wenn man von Funktionen spricht, meint man auf totale Abbildungen. Wie in der Einleitung schon geschrieben, wird bei einer Abbildung einem Element aus dem Definitionsbereich ein Element im Wertebereich zugewiesen. Diese Elemente stehen dann miteinander in Relation. Relationen sind also der Grundbaustein für Abbildungen, auf diese werde ich aber nur kurz eingehen.

Eine Relation ist eine Menge von Tupeln, wobei oft zwei Elemente ein Tupel bilden. Diese zwei Elemente stehen dann in Relation zueinander. Für die Abbildungen müssen die Relationen verschiedene Eigenschaften erfüllen:

Zum besseren Verständnis sieht unsere Abbildung bzw. Relation folgendermaßen aus:
[latex]F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\x \mapsto x^2[/latex]

Die Menge A bezeichnet man als Definitionsbereich und die Menge B wird Wertebereich genannt.

Linkstotal

Die Relation muss linkstotal sein. Das bedeutet, dass jedem Element des Definitionsbereiches ein Element aus dem Wertebereich zugewiesen wird. Als Formel kann man dies so beschreiben:
[latex]\forall x \in A. \exists y \in B. (x,y) \in F[/latex]

Rechtseindeutig

Die Relation muss rechtseindeutig sein. Das heißt, einem Element aus dem Definitionsbereich dürfen keine zwei Elemente des Wertebereiches zugeordnet sein. Wenn zum Beispiel f(1) = 2 und f(1) = 3 wäre, welches Funktionswert würde man wählen? Das darf bei einer Funktion nicht passieren. Formell lässt sich das so ausdrücken:
[latex]\forall x \in A. \forall y_1,y_2 \in B. (x,y_1) \in F \wedge (x,y_2) \in F\implies y_1 = y_2[/latex]

Linkseindeutig

Wenn die Relation linkseindeutig ist, so kann ein Element aus dem Wertebereich nur durch höchstens ein Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ werden. Zum Beispiel ist [latex](-2)^2[/latex] und [latex]2^2[/latex] nicht linkseindeutig, da zwei verschiedene „x“-Werte auf das gleiche „y“ abbilden. Formell wird es so formuliert:
[latex]\forall x_1,x_2 \in A. \forall y \in B. (x_1,y) \in F \wedge (x_2,y) \in F \implies x_1 = x_2[/latex]

Rechtstotal

Eine Abbildung ist rechtstotal, wenn jedes Element aus dem Wertebereich von mindestens einem Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ wird. Formell schreibt man dies so:
[latex]\forall y \in B. \exists x \in A. (x,y) \in F[/latex]

Zurück zu Abbildungen

Nachdem ihr nun wisst, welche möglichen Eigenschaften die zweistellige Relation hinter eine Abbildung haben kann, sei gesagt, dass die „normalen“ Funktionen aus dem Unterricht totale Abbildungen sind. „total“ steht hierbei für linkstotal und rechtseindeutig. Diese beiden Eigenschaften muss eine Funktion besitzen, damit sie „funktioniert“ und keine partielle Abbildung darstellt.

Eigenschaften Injektiv, Surjektiv und Bijektiv

Eine Abbildung kann weitere tolle Eigenschaften besitzen. Diese drei nennen sich „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“.

Injektiv

Als injektiv bezeichnet man eine Abbildung, welche linkstotal, rechtseindeutig und dazu noch linkseindeutig ist. Das bedeutet, wie oben schon erklärt, dass jedes Element aus dem Wertebereich maximal mit einem Element aus dem Definitionsbereich in Verbindung stehen darf. Formell:
[latex]\forall x_1,x_2 \in A. f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2[/latex]

Nehmen wir mal die Funktion f, welche ich weiter oben definiert habe. Diese Funktion ist nicht injektiv, da zwei verschiedene x-Werte auf dasselbe y abbilden.
[latex](-2)^2 = 4 \Longleftrightarrow (2)^2 = 4[/latex]

Das widerspricht der Formell, denn man kann nicht von etwas Falschem auf etwas wahres schließen. Da die erste Bedingung vor der Implikation wahr ist (beide Funktionswerte sind 4), müsste die implizierte Bedingung ebenfalls wahr sein. Das ist aber nicht der Fall, da die beiden Eingabewerte sich im Vorzeichen unterscheiden.

Das Problem können wir „umgehen“, in dem wir den Definitionsbereich der Funktion f auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach wäre die Funktion als injektiv einzuschätzen.

Surjektiv

Surjektiv nennt sich die zweite Eigenschaft, welche eine Funktion annehmen kann. Dabei bekommt sie zu den Eigenschaften linkstotal, rechtseindeutig, die Eigenschaft rechtstotal. Bildlich bedeutet das, dass jeder mögliche Funktionswert aus dem Wertebereich getroffen werden muss. Als Formal beschreibt man diese Eigenschaft folgendermaßen:
[latex]\forall y \in B. \exists x \in A. y = f(x) [/latex]

Bei unserer quadratischen Funktion können wir folgern, dass die Funktion ebenfalls nicht surjektiv ist, da der Wertebereich die reellen Zahlen sind und wir aber nur die positiven Zahlen erreichen können. Auch dieses mal können wir das Problem ausbügeln, wenn wir den Wertebereich auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach werden alle Elemente aus dem Wertebereich „getroffen“, und die Eigenschaft ist erfüllt.

Bijektiv

Wir nennen eine Funktion bijektiv, falls die Funktion injektiv und surjektiv ist. Ist dies der Fall, so lässt sich für die bijektive Funktion eine Umkehrfunktion bilden. Die Umkehrfunktion bildet, wie der Name vermuten lässt, vom Wertebereich in den Definitionsbereich ab.

Fazit

Ich hoffe, ich konnte euch das Thema „Abbildungen“ ein wenig näher bringen. Es ist auf jeden Fall sinnvoll zu wissen, wann eine Funktion eine Umkehrabbildung. Ansonsten macht es Spaß mit den verschiedenen Eigenschaften rum zuhantieren.

~ Sebastian

Was ist eine Menge?

Bevor wir uns den Operationen auf Mengen nähern, müssen wir erstmal wissen, was überhaupt eine Menge ist. Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter unterscheidbarer Objekte (Elemente einer Menge) zu einem Ganzen. Die Objekte müssen in irgendeiner Weise unterscheidbar sein, d.h. es gibt in einer Menge keine zwei identischen Elemente. Elemente haben keine feste Position und können beliebig angeordnet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Menge zu erzeugen:

• [latex]A=\{1,2,3,….\}[/latex] – Angabe einer Aufzählung oder Angabe aller Elemente
• [latex]A=\{x \in \mathbb{Z} | x \in \mathbb{N} \wedge x \le 10 \}[/latex] – „Filter“, wobei nur Elemente in A sind, welche den Filter passieren.
• [latex]a,b,c \in A[/latex] – Angabe über das Elementsymbol.

Operationen auf Mengen

Ohne bestimmte Operationen wären Mengen ziemlich langweilig und nutzlos. Die bekanntesten Operationen werde ich vorstellen:

• Vereinigung
• Schnitt
• Komplement
• Kartesisches Produkt
• Symmetrische Differenz
• Potenzmenge
• Intervalle

Vereinigung

Die Vereinigung ist so definiert: [latex]A \cup B \Leftrightarrow \{ x | x \in A \vee x \in B\}[/latex]. In der Vereinigungsmenge befinden sich also alle Elemente aus den Mengen A und B. Laut der Mengendefinition dürfen keine Objekte doppelt vorhanden sein, sodass weitere identische Elemente ignoriert werden. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \cup B[/latex] = {1,2,3,4,5}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: min(#(A),#(B))
Maximal: #(A) + #(B)

Schnitt

Der Schnitt ist das Gegenteil der Vereinigung. Bei dieser Operation werden nur Elemente übernommen, welche in beiden Grundmengen vorhanden waren. Definition: [latex]A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \cap B[/latex] = {2}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximal: min(#(A),#(B))

Komplement

Das Komplement bezeichnet eine Menge, in der nur die Elemente der Menge A ohne die Elemente der Menge B vorhanden sind. Mathematisch: [latex]A \backslash B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex] A \backslash B[/latex] = {1,3}

Anzahl der Elemente:
Minimum: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximum:  #(A)

Kartesische Produkt

Das kartesische Produkt liefert uns eine Menge von n-Tupeln. Tupel sind Mengen ähnlich, jedoch ist die Reihenfolge der Elemente fest. Um das kartesische Produkt zu bilden, verknüpft man jedes Element aus der Menge A mit einem Element aus der Menge B. Das kartesische Produkt der Mengen A und B kann man so definieren: [latex]A \times B = \{ (x, y) | x \in A \wedge y \in B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \times B[/latex] = {(1,2), (1,4), (1,5), (2,2), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5)}

Anzahl der Elemente: #(A) * #(B)

Anmerkung: Die Schreibweisen [latex]A^2[/latex] oder [latex]A^*[/latex] bzw. [latex]\mathbb{R}^3[/latex] stehen einfach für die mehrfache Anwendung des kartesischen Produkts. ([latex]A^* = A \times A \times A \times …[/latex]) Dadurch erhält man alle möglichen Kombinationen der Elemente. Das Koordinatensystem der 2. Dimension ist zum Beispiel nur das kartesische Produkt der reellen Zahlen.

Symmetrische Differenz

Die symmetrische Differenz kann man als eine Kombination aus Vereinigung und Schnitt bezeichnen. Dabei werden nur die Elemente übernommen, welche nicht in beiden Mengen vorhanden sind. Praktisch das Komplement der Vereinigung und des Schnittes:
[latex]A \triangle B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)[/latex]
[latex]A \triangle B = \{ x | (x\in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)\}[/latex]
Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \triangle B[/latex] = {1,3,4,5}

Potenzmenge

Die Potenzmenge bezeichnet die Menge, welche alle Teilmengen der übergebenen Grundmenge enthält. Die Potenzmenge bezeichnet man einfach mit P(MENGE). Formel: [latex]P(A) = \{ U | U \subseteq A \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
P(A) = {[latex]\emptyset[/latex],{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Anzahl der Elemente: [latex]2^{\#(A)}[/latex]

Anmerkdung: Die leere Menge ist immer Element der Potenzmenge. Es kann daher verwirrend sein, wenn man die Potenzmenge der leeren Menge bildet, und das Ergebnis erneut potenziert:
[latex]P(P(\emptyset)) = P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\} \}[/latex]

Intervalle

Die letzte Art der hier vorgestellten Mengen sind die Intervalle. Die Intervalle sind über der dichten Menge der reellen Zahlen definiert. Es gibt drei verschiedene Arten von Intervallen:

• Offenes Intervall – ]0,1[ bzw. [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
• Halboffenes Intervall – ]0,1] bzw. [latex]\{x| 0 <  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
• Geschlossenes Intervall [0,1] bzw. [latex]\{x| 0 \leq  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]

Bei dem offenem Intervall sind die Klammern nach Außen gerichtet. Die Zahlen, die das Intervall begrenzen sind nicht in die Menge mit einbezogen (<). Beim halboffenem Intervall ist eine der beiden Klammern nach Innen gerichtet, was die entsprechende Grenze mit in die Menge einschließt. Beim geschlossenem Intervall gilt dies für beide Grenzen analog.

Die reellen Zahlen ergeben eine dichte Menge. Das heißt, zwischen zwei Zahlen liegen unendlich viele weitere Zahlen. Im Gegensatz dazu stehen die natürlichen Zahlen, bei denen genau eine Zahl auf die Andere folgt. Das folgende Beispiel soll dies darstellen:

]0,1[ = [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
]0,1[ [latex]\cap \mathbb{N}[/latex] = [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{N}\}[/latex] = [latex]\emptyset[/latex]

Wenn man das offene Intervall zwischen 0 und 1 mit den natürlichen Zahlen schneidet, sind in der Zielmenge nur noch die Einträge, welche ganzzahlig und positiv sind. Bei diesem Beispiel ergibt das eben die leere Menge, da es keine weiteren Zahlen zwischen 0 und 1 gibt.

Fazit

Ohne Mengen könnte die Mathematik nicht wirklich funktionieren, denn es gäbe keine Zahlenbereiche, keine Koordinatensysteme, usw. Es ist daher von Vorteil, wenn man die wichtigsten Mengenoperationen kennt, und diese anwenden kann.

~ Sebastian

Was ist eine Aussage?

Zunächst müssen wir klären, was überhaupt eine Aussage ist. Darunter versteht man einen Satz bzw. Ausdruck, dessen Inhalt entweder als wahr (true) oder unwahr (false) entschieden werden kann. Beispiele dafür sind:

• Heute ist Montag.
• Der Professor erklärt nichts.
• 2+3 != 4
• Es regnet genau dann, wenn die Sonne scheint.

Diese Aussagen sind je nach Situation mit „Ja“ oder „Nein“ beantwortbar. Keine Aussagen sind hingegen folgende Sätze:

• Sind alle anwesend?
• Bitte lest weiter.
• Ein Lügner behauptet: „Alle Lügner lügen“.

Bei diesen Beispielen handelt es sich nicht um Aussagen, da diese nicht eindeutig mit „Ja“ oder „Nein“ beantwortbar sind. Vor allem das letzte Beispiel ist interessant, denn es beschreibt einen Widerspruch und könnte ggf. in mehrwertigen Logiken (nicht nur true, false, sondern z.b. auch „vielleicht“) beantwortet werden. Da wir aber von einer zweiwertigen Logik ausgehen, ist dies keine zulässige Aussage.

Die logischen Operationen

Verschiedene Aussagen lassen sich mit Hilfe der mehrerer Operationen verknüpfen, um verkettete Aussagen zu bilden. Im folgenden wird A die erste Beispiel- und B die zweiten Beispielaussage sein.

NICHT

Die einfachste Operation ist die unitäre NICHT-Operation. Diese ist auch als „Non“ bekannt und wird mit dem [latex]\neg[/latex] Symbol dargestellt. Die Funktion besteht in der Umkehrung des Wahrheitwertes einer Aussage:

Dies ist sehr anschaulich: ([latex]\neg A[/latex])

Heute ist nicht Montag.

UND

Diese Operation trägt das Symbol [latex]\wedge[/latex] und dessen Bedeutung ist trivial. Es lassen sich zwei Aussagen verknüpfen und der Wahrheitswert der Verknüpfung wird nur „wahr“ wenn beide Teilaussagen wahr sind.

Den folgenden Satz könnte man bilden: ([latex]A \wedge B[/latex])

Heute ist Montag, und der Professor erklärt nichts.

ODER

Die „oder“-Operation verknüpft zwei Aussagen, dessen gemeinsamer Wahrheitswert „wahr“ annimmt, wenn mindestens eine der beiden Aussagen „wahr“ ist. Wichtig ist anzumerken, dass es sich nicht um das umgangssprachliche „entweder oder“ (xor) handelt.

Wendet man die Beispielsätze an, ergibt sich folgende Aussage: ([latex]A \vee B[/latex])

Heute ist Montag, oder der Professor erklärt nichts.

Implikation

Die Implikation wird meines Wissens nicht im Schulmathe behandelt, sodass diese dem Einen oder Anderen unbekannt sein könnte. Nichtsdestotrotz ist sie in der Mathematik sehr wichtig. Eine Implikation hat die folgende Struktur: [latex]A \rightarrow B[/latex]. Die Aussage A ist für B hinreichend, sodass B gelten muss, wenn A gilt. Andersherum ist B notwendig für A, sodass die Ungültigkeit von B die Ungültigkeit von A nach sich zieht. Man kann also nicht von etwas Wahrem auf etwas Falsches schließen.

Die Implikation lässt sich durch die Grundoperationen „oder“ und „nicht“ darstellen: [latex]\neg A \vee B[/latex] ist äquivalent zu [latex]A\rightarrow B[/latex].

Ein Beispielsatz kann folgendermaßen lauten:

Der Professor erklärt nichts, wenn heute Montag ist.

Äquivalenz

Die letzte in der Mathematik gebräuchliche logische Operation nennt sich Äquivalenz. Diese drückt die Gleichheit zweier Aussagen aus. Folglich ergibt sich diese Wahrheitstabelle:

Auch diese Operation lässt sich wieder durch Grundoperationen beschreiben: [latex]\neg (A \wedge B)\ \vee (A \wedge B)[/latex] und einer der obligatorischen Beispielsatz wäre:

Heute ist Montag, genau dann wenn der Professor nichts erklärt.

Prädikatenlogik

Nachdem ihr nun die wichtigsten Operationen und deren Funktionsweise kennt, können wir zur Prädikatenlogik übergehen. Die Prädikatenlogik gibt uns zwei weitere Symbole mit denen man eine Aussage auf verschiedene „Objekte“ anwenden kann. Diese Symbole nennen wir Quantoren:

• Allquantor [latex]\forall[/latex] – Für alle x gilt P(x)
• Existenzquantor [latex]\exists[/latex] – Es existiert mindestens ein x, für das P(x) gilt

Diese Quantoren erlauben uns, eine Aussage zu verallgemeinern, in dem diese Aussage auf Objekte einer Menge angewendet wird, und die Menge so beschrieben werden kann.

Sei M die Menge aller Leser dieses Blogeintrages.
Sei V(x) das Prädikat: Der Leser x hat das Thema verstanden.

Ich könnte dann folgende Behauptung aufstellen:
[latex]\forall x \in M. V(x)[/latex]

Die Formel sagt folgendes aus: Für alle Leser dieses Blogeintrags gilt, dass sie das Thema verstanden haben. Nun, ich vermute dass es schwierig werden könnte, diese Aussage zu beweisen, da bereits ein Leser, der das Thema nicht verstanden hat, genügt, um die Aussage zu widerlegen. Deswegen wäre ich besser beraten, folgende Aussage aufzustellen:
[latex]\exists x \in M. V(x)[/latex]

Zur Gültigkeit dieser Aussage reicht mir ein Leser, der das Thema verstanden hat. Dies könnte man relativ leicht beweisen, wenn man mich selbst als Leser sieht (Ich nehme an, ich hätte das Thema verstanden :P)

Durchziehen einer Negation

Es existiert die Möglichkeit, dass man Negationen vor einem Quantor „durchzieht“, sodass die Negation in die Aussage verschoben wird. Bei diesem Prozess wird der Quantor vertauscht. Ein kleines Beispiel dazu:
[latex]\neg \forall x \in M. V(x)[/latex]

Gesprochen: Nicht für alle Leser gilt, dass sie das Thema verstanden haben. Aha, das riecht stark nach dem Existenzquantor. Das Ergebnis des „Durchziehens“:
[latex]\exists x \in M. \neg V(x)[/latex]

Gesprochen: Es existiert mindestens ein Leser, der das Thema nicht verstanden hat.

Fazit

Ich hoffe, ich konnte das Thema einigermaßen verständlich erklären. Falls nicht, dann wird das bestimmt jemand im Laufe eures Lebens euch ein weiteres Mal erklären, denn ohne die Logik könnten wir vieles in der Mathematik nicht beschreiben.

~Sebastian

[mathjax]

Der Wirkstoff von Ritalin, Medikinet & Co. nennt sich Methylphenidat. Chemisch gesehen ist er, ähnlich wie viele andere stimulierende Substanzen (zB. MDMA, Ephedrin, Methamphetamin), nah mit den Amphetaminen verwandt, da diese Stoffe alle Derivate der Stammverbindung Phenylethylamin sind.

v.l.n.r.: Jeweils ein Molekül Amphetamin, Phenylethylamin und Methylphenidat zum Vergleich

Wirkung auf an ADHS erkrankten Personen

Als Aufmerksamkeitsdefizit/Hyperaktivitätsstörung oder kurz ADHS, bezeichnet man eine psychische Störung, die meist im Kindesalter auftritt. Die hauptsächlichen Symptome sind bereis im Namen enthalten, eine Behandlung erfolgt heutzutage vorwiegend mit Methylphenidatpräperaten.

Dopamin

Die Frage, welche Anomalien bei erkrankten Patienten für ADHS verantwortlich sind, ist bis heute nicht übereinstimmend geklärt. Die vorherrschende Theorie ist jedoch, dass der Haushalt der körpereigenen Botenstoffe Dopamin, Serotonin und Noradrenalin im Gehirn gestört ist, bzw. diese eine überaus hohe Aktivität aufweisen.

Methylphenidat wirkt nun in erster Linie als Inhibitor (Hemmstoff) für die Transportsysteme dieser Botenstoffe, was zum Beispiel zu einem etwa 10fachem Anstieg der Dopaminkonzentration führt. Der Körper „bemerkt“ diese Veränderung und schränkt die körpereigene Freisetzung von Dopamin entsprechend ein.
Dadurch wird es dem Patienten ermöglicht, sich ruhiger auf bestimmte Dinge zu konzentrieren, ohne Gefahr zu laufen, leicht von unerwünschten Reizen abgelenkt zu werden.

Der geringe Anstieg der Dopaminkonzentration (ca. um das 10fache) wirkt dabei längst nicht euphorisierend, selbst starke, emotionale Aufregung kann die Konzentration von Dopamin auf das 1000fache ansteigen lassen.
Außerdem die Abhängigkeitsgefahr bei fachgerechter Behandlung (besonders bei Kindern) äußerst niedrig.
Lediglich das unsachgemäße, schlagartige Absetzen von Methylphenidat stellt, besonders nach langfristiger Einnahme, eine große Gefahr dar: Heißhungerattacken, Depressionen, suizidale Psychosen und nicht zuletzt Dauererektionen können ernstzunehmende Folgen sein.

Wirkung als Rauschmittel

Im Gegensatz zur konventionellen Einnahme (peroral) wird Methylphenidat bei missbräuchlicher Verwendung meist nasal oder intravenös appliziert, was noch einige, zusätzliche Gefahren birgt. Durch die hohe Dosis wird die Wirkung als Dopamin-Wiederaufnahmehemmer massiv verstärkt, was zu einer regelrechten Anhäufung von Dopamin und so zu einer Überflutung der entsprechenden Rezeptoren im Gehirn führt.

Was folgt, ist das hauptsächlich dopaminbedingte „High“, vergleichbar mit dem stimulierenden Effekt von Kokain oder Amphetaminen – stark euphorisierend und antriebssteigernd. In mäßigerer Dosierung kann der von Studenten gewünschte Effekt der besseren Konzentrationsfähigkeit eintreten, wenngleich auch in geringerer Intensität als bei an ADHS erkrankten Personen. Auch das Bestreben, schlafen zu gehen, wird unter anderem kurzzeitig verringert.
Obwohl das Abhängigkeitspotential vergleichsweise gering ist, sind die Folgeschäden und die Ausweitung der Toleranz dennoch beachtlich.

Auch wenn die Langzeitwirkung noch nicht vollständig untersucht wurde, soll Methylphenidat neueren Studien zufolge, allerdings dazu beitragen, dass weitere Synapsen, also Verbindungsstellen im Gehirn, geschaffen werden. Damit würde es sogar aktiv am Lernvorgang teilhaben – aber bei unsachgemäßer Anwendung und den zahlreichen, damit verbundenen Nebenwirkungen, dennoch gefährlich bleiben.

Quellen

• Handbuch Medikamente, 8. Auflage
• wikipedia.com
• heise.de
• ads-kritik.de
• webmart.de

~ Marcus

Einleitung

Gemäß unserer konventionellen Lehre der Thermodynamik, existieren folgende, für uns bedeutsame Energieformen: Innere Energie und „äußere“, mechanische Energie. Um also ein überschaubares Ergebnis zu erhalten, sollten wir unsere Überlegungen in mehrere Teilberechnungen splitten; wir werden uns auf vier Energieformen beschränken:

Thermische & chemische (innere) Energie und kinetische & potentielle (mechanische) Energie.
Als Grundlage für unsere Berechnungen soll ein durchschnittlicher Mann aus Deutschland mit einem Gewicht von 80 kg dienen.

Abgesehen von Sprung in einen Brunnen voll von Antimaterie, um unsere gesamte Masse in Form von Energie freizusetzen – der für uns sicherlich kein Vergnügen wäre – wollen wir doch mal sehen, welche Möglichkeiten uns sonst bleiben, Energie schlagartig an unsere Umwelt abzugeben. Dazu betrachten wir uns, mit welchen Formen von Energie es der Durchschnittsmensch im Alltag zu tun hat:

1. Potentielle Energie eines Menschen

Die Potentielle Energie eines Systems ist abhängig von dessen Lage, folgende Parameter sind zu berücksichtigen: Masse m, Erdbeschleunigung g und die Höhe h. Daraus ergibt sich die Formel für die potentielle Energie:

[latex]E_{pot} = m*g*h[/latex]

Ganz so einfach können wir aber in unserem Fall keine Berechnung anstellen, da uns die Höhe sprichwörtlich einen Strich durch die Rechnung macht. Wenn wir also die tatsächliche potentielle Energie, die ein Körper aufweist, berechnen wollen, müssen wir den Erdmittelpunkt als Bezugspunkt verwenden.

Da aber die Erdbeschleunigung im Mittelpunkt 0 ist und, näherungsweise, linear bis knapp unter die Erdoberfläche zunimmt sind wir gezwungen, das Problem per Integralrechnung zu lösen:

Lineare Funktion, in der wir die Erdbeschleunigung in Abhängigkeit zum Erdradius von ca. 6371km setzen:

[latex]f(x) = \frac{9.81}{6371000}[/latex]

Integration der Funktion, wobei die obere Grenze r, der Erdradius ist:

[latex]E_{pot} = \int_{0}^{r}f(x)dx[/latex]

Nachdem auch die Masse berücksichtigt wurde, kommen wir auf ein Ergebnis von 2499980400J oder ca. 2,50GJ, was etwa einer halben Tonne TNT entsprechen würde.

Bleibt also weiterhin die Frage, wie wir unsere potentielle Energie theoretisch schlagartig freisetzen könnten.
Da wir uns hierbei wieder auf die konventionelle Formel beziehen können, stehen nur drei Möglichkeiten zur Auswahl:

• Masse m verlieren – Da nach dem Massenerhaltungsgesetz die Masse erhalten bleibt, lässt sich in dieser Richtung nichts machen. Mit der Umwandlung von Masse in ihr Äquivalent Energie, würden wir der Sache schon näher kommen aber da dies ja, wie bereits beschrieben, ein ganz anderes Problem ist, können wir auch davon absehen.
• Erdbeschleunigung g außer Kraft setzen – Da die Erbeschleunigung (mehr oder weniger) eine Naturkonstante ist, muss sie von uns, auf der Erde, ebenfalls außen vor gelassen werden.
• Höhe h verringern – Um genügend Höhe zu verlieren sollten man in ein Loch springen, das mindestens bis zum Erdkern reicht. Sofern man dort nicht schon flüssig ankommt, wandelt sich die potentielle Energie im Fall zu kinetischer Energie um, die sich letztendlich in Form von Wärmeenergie äußern wird.

Schaffen wir es jedoch nicht – was auch anzunehmen ist – einen dieser drei Faktoren auf 0 zu bringen, schaffen wir es leider auch nicht, unsere gesamte potentielle Energie zu an unsere Umwelt abzugeben.

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