Ausgangspunkt des Problems

Natürlich hat jeder hier und da bereits von der berühmten Summenformel gehört, mir allerdings hat die persönliche Wiederentdeckung (der Wiederentdeckung) dieses uralten Zusammenhangs [1] im Bezug auf das Verständnis desselben ein wenig die Augen geöffnet.

Abb. 1: Entsprechend gestapelte Kugeln

Ich erinnere mich gut an den Ausgangspunkt meiner Überlegungen, den ich aus meiner Kindheit mitgebracht habe: Wenn ich eine gewisse Anzahl von Bauklötzen, Würfeln, Murmeln, etc. habe, kann ich diese pyramidenförmig bzw. in Form eines Dreiecks übereinander stapeln. Die Frage ist dann, aus wie vielen Elementen ein solches in Abb. 1 dargestelltes gestapeltes Konstrukt besteht, oder was für mich noch interessanter war: Aus wie vielen Elementen muss die erste Reihe bestehen?
Immerhin ist es sehr problematisch, wenn man sich mit dem Aufbau einer solchen „Pyramide“ Mühe gegeben hat und an der Spitze aufgrund von fehlenden Elementen das Konstrukt nicht zu Ende bauen kann, weil man sich beim Bau der untersten, ersten Reihe verschätzt hatte. Oder wenn man beim Abschätzen der Anzahl für die erste Reihe zu vorsichtig war und am so viele Elemente übrig hat, dass eine weitere unterste Reihe noch möglich gewesen wäre.

Was damals nur durch probieren möglich war, sollte nun mathematisch beschrieben werden. Eine bestimmte Anzahl von Elemente so übereinander zu stapeln, dass nur ein geringstmöglicher Rest übrig bleibt – wenn die Regel gilt, dass eine obere Reihe immer ein Element weniger beinhalten soll, als die Reihe darunter.

Herangehensweise

Meine Herangehensweise begann damit, einen Zusammenhang experimentell zu finden. Dazu zeichnete ich aus Kreisen bestehende Dreiecke, deren Reihenzahl von 1 bis 10 anstieg und zählte daraufhin die Gesamtzahl der Kreise pro Dreieck:

Abb. 2: r = Anzahl der Elemente in 1. Reihe, n = Gesamte Anzahl der Elemente

Hierbei ist einfach ersichtlich, dass die Gesamtanzahl n einer Reihe r um r Elemente größer ist, als die Anzahl n aller Elemente bei der vorherigen Reihe r – 1. Ist also bekannt, dass ein Dreieck mit r = 4 eine Gesamtzahl von 10 Elementen aufweist, so ist besitzt das darauf folgende Dreieck (mit r = 5) 10 + 5, also 15 Elemente usw.

Dies ließe sich mathematisch als Reihe beschreiben, allerdings wollte ich den Zusammenhang als Formel erfassen, da das Hauptaugenmerk ja darauf lag, aus einer beliebigen, gegebenen Anzahl von Elementen herauszufinden, aus wie vielen Elementen die erste Reihe bestehen muss. Hilfreich ist die Darstellung in Form einer Tabelle:

Bei genauer Betrachtung lässt sich hierbei erstmals ein Zusammenhang erkennen, der sich mittels zwei Formeln bzw. vereinfacht mit einer Formel allgemein beschreiben lässt: Die Anzahl n für

• alle ungeraden r: [latex]n = \frac{r+1}{2} * r = (\frac{r}{2} + \frac{1}{2}) * r = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}[/latex]
• alle geraden r: [latex]n = \frac{r^2}{2} + \frac{r}{2} = \frac{r^2+r}{2}[/latex]

Unsere Formel ist also identisch mit der Gaußschen Summenformel:

[latex]n = \frac{r^2+r}{2}[/latex]

Berechnung von r

Diese Tatsache war mir zum damaligen Zeitpunkt noch nicht bewusst, ich war weiterhin der Meinung, mich mit einer Art Fakultät für Summen zu beschäftigen. Allerdings hatte ich mein Ziel zu diesem Zeitpunkt auch noch nicht erreicht, weil ich ja ursprünglich, sozusagen umgekehrt, aus einer gegebenen Gesamtanzahl n die Anzahl der Elemente r in der unterste Reihe errechnen wollte. Dazu wird die Formel nach r umgestellt:

[latex]r = \frac{\sqrt{8n + 1} – 1}{2}[/latex]

Dieses Vorhaben (welches sich übrigens als anspruchsvoller als gedacht erwies) liefert uns eigentlich zwei Lösungen, allerdings kann die Lösung mit negativer Wurzel vernachlässigt werden, weil unser Ergebnis positiv sein muss.

Beispiel

Wäre mir dieser Zusammenhang nun bereits als Kleinkind bewusst gewesen, hätte ich folgendermaßen vorgehen müssen, um beispielsweise 85 Bauklötze zur höchstmöglichen Pyramide zu stapeln (wobei die Pyramide eher ein Dreieck im Raum ist):

[latex]\frac{\sqrt{8*85 + 1} – 1}{2} \cong \left \lfloor 12,548 \right \rfloor = 12[/latex]

Das Ergebnis muss in jedem Fall abgerundet werden, da wir davon ausgehen müssen, dass ein Rest übrig bleibt, sofern das Ergebnis Nachkommastellen aufweist (die Abrundungsfunktion wurde übrigens auch von Gauß geprägt). Das abgerundete Ergebnis kann in die ursprüngliche Formel (Gaußsche Summenformel) eingesetzt werden:

[latex]\frac{12^2+12}{2} = 78[/latex]

Daraus lässt sich ablesen, dass wir für das Vorhaben, aus unseren 85 Bauklötzen eine möglichst große Pyramide zu bauen, mit einer untersten Reihe aus 12 Klötzen starten sollten und die gesamte Pyramide am Ende aus 78 Bauklötzen besteht und somit 85 – 78 = 7 Bauklötze übrig bleiben.

Weiterführende Überlegungen

Begeistert diesem Problem endlich auf den Grund gegangen zu sein, habe ich diese Berechnungen für (richtige) Pyramiden im 3-Dimensionalen (Tetraeder) und undefinierte Gebilde im mehrdimensionalen Raum erweitert. Und da es sich (zumindest im 2-Dimensionalen Raum) um gleichseitige Dreiecke handelt kann mittels [latex]A_\bigtriangleup = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{(kr)^2+kr}{2k^2}[/latex] der Flächeninhalt solcher durch unendlich klein werdende Elemente berechnet werden.

Während ich dabei war, diese Formel zur Flächenberechnung beliebiger Dreiecke anzuwenden, indem diese zu gleichseitigen transformiert werden, kam mir zufällig die Gaußsche Summenformel vor die Augen. Wie unschwer zu erkennen ist, lautet diese Formel genau wie jene von mir entdeckte und durch diese Erkenntnis „wach gerüttelt“ stieß ich in weiterer Folge auf figurierte Zahlen, Dreieckszahlen und auch Tetraederzahlen, die sämtliche vermeintlich neue Erkenntnisse bereits dokumentieren.

Gelernt habe ich, dass es sich immer lohnt, im Falle eines mathematischen Problems zuerst Google zu bemühen, weil die Lösung mit hoher Wahrscheinlichkeit bereits im Internet zu finden ist. Andererseits konnte ich mir die Gaußsche Summenformel durch meinen unorthodoxen Zugang komplett selbst erschließen, was mir persönlich aus mathematischer Sicht völlig neue Erkenntnisse lieferte.

Literatur

[1] Vgl. Neugebauer, Otto: Vorgriechische Mathemathik. In: Eckmann B. u. van der Waerden B. L. (Hg.): Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften. Erster Band. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag 1969, S. 172

~ Marcus

Definition

Jede komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil. Daraus können wir schließen, dass jede reelle Zahl ebenso eine komplexe Zahl ohne Imaginärteil ist. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Die Zahlen sind folgendermaßen aufgebaut:

a + b*i

wobei

• Realteil: Re(a+b*i) = a
• Imaginärteil: Im(a+b*i) = b

Weiterhin ist folgendes festgelegt:

• i = [latex]sqrt(-1)[/latex]
• [latex]i^2[/latex] = -1
• [latex]i^3[/latex] = [latex]i^2*i[/latex] = -i
• [latex]i^4[/latex] = [latex]i^2*i^2[/latex] = 1
• usw.

Wie man sieht, scheinen die komplexen Zahlen sehr nützlich zu sein. Man kann damit Gleichungen lösen, welche zuvor als „unlösbar“ bekannt waren. 

Rechnen mit komplexen Zahlen

Damit wir mit den komplexen Zahlen richtig arbeiten können, müssen wir uns die grundlegenden Rechenoperationen anschauen.

Addition

Die Addition ist sehr einfach, da einfach der Real- bzw. Imaginärteil separat addiert wird.

(a + b*i) + (c + d*i) = (a + c) + (b + d)*i

Substraktion

Die Substraktion funktioniert analog zur Addition:

(a + b*i) + (c + d*i) = (a – c) + (b – d)*i

Multiplikation

Die Multiplikation ist etwas umständlicher, aber trotzdem leicht zu merken:

(a + b*i)* (c + d*i) = (a*c – b*d) + (a*d + b*c)*i

Division

Um die Division durchführen zu können, solltet ihr erstmal einen Blick auf die komplexe Konjugation werfen. Diese brauchen wir, um den Bruch damit zu erweitern.

[latex]\frac{(a + b*i)}{(c + d*i)} = \frac{(a + b*i)*(c – d*i)}{(c + d*i)*(c – d*i)} = \frac{a*c + b*d}{c^2 + d^2} + \frac{b*c – a*d}{c^2 + d^2} *i[/latex]

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl kann leicht mit der folgenden Formel berechnet werden:

[latex]|z| = sqrt(Re(z)^2 + Img(z)^2 )[/latex]

Komplex Konjugation

Bei der komplexen Konjugation dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils um.

[latex] \overline{a + b*i} = a – b*i[/latex]

Beispiel

Um die Anwendung ein wenig zu verdeutlichen, mache ich ein kleines Beispiel dazu.

[latex]
\begin{align*}
x^2+1 = &0\\
x^2 =& -1\\
x = &sqrt(-1)\\
x = & i
\end{align*}[/latex]

Bevor ihr jedoch mit komplexen Zahlen rum rechnet, müsst ihr sichergehen, dass der Zahlenbereich das zulässt. Ansonsten ist die Lösung nicht zulässig.

Fazit

Komplexe Zahlen können in manchen Fällen ein nettes Hilfsmittel sein, um scheinbar unlösbare Gleichungen in einem größeren Zahlenbereich zu lösen.

~ Sebastian

Es lässt sich mittels vollständiger Induktion leicht zeigen, dass wenn eine Aussage für ein kleinstes [latex]x_0[/latex] der natürlichen Zahlen gilt, dass dies auch für die Nachfolger des [latex]x_0[/latex] gilt.

Aufbau der vollständigen Induktion

Die Beweise werden immer nach dem gleichen Muster geführt. Das Muster besteht dabei aus vier Abschnitten, welche man sich leicht merken kann.

Induktionsanfang (I.A.)

In diesem Schritt zeigt man, dass eine Aussage für das kleinste [latex]x_0[/latex] über der natürlichen Menge gilt. Dies muss nicht immer die null sein, sondern auch andere Zahlen in [latex]\mathbb{N}[/latex], solange sie die untere Grenze darstellt.

Induktionsvoraussetzung (I.V)

Dieser Schritt besteht eigentlich im Abschreiben der zu beweisenden Aussage. Wenn wir wissen, dass die Aussage für den I.A. gilt, dann ist diese Aussage die Voraussetzung für die Nachfolger der unteren Grenze.

Induktionsbehauptung (I.B.)

Bei der Induktionsbehauptung ersetzen wir die zu beweisende Variable (oft n) durch n+1. Das soll unsere Behauptung darstellen: Die Aussage muss auch für den Nachfolger von n gelten.

Induktionsschritt (I.S.)

Der Induktionsschritt ist der rechenintensivste Schritt. Hier müssen wir zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung gilt. Dabei nimmt man sich die Induktionsbehauptung und formt diese nach-und-nach um, bis man die Induktionsvoraussetzung nutzen kann, um den Beweis abzuschließen.

Praxisbeispiel

Folgend werden wir eine vollständige Induktion durchführen. Dabei beweisen wir diese Behauptung: [latex]\forall x \in \{ x | x \in \mathbb{N} \wedge x \geq 3 \}. n^2 \gt 2n+1[/latex]

I.A. n=3: [latex]n^2 \gt 2n+1 \Longleftrightarrow 9 \gt 7[/latex]

Wir haben einfach die niedrigste Zahl, in dem Fall die 3, in die Ungleichung eingesetzt. Diese ist wahr, sodass wir weitermachen können.

I.V. [latex]n^2 \gt 2n+1[/latex]

Wir schreiben unsere Voraussetzung auf.

I.B. [latex](n+1)^2 \gt 2(n+1)+1[/latex]

Wir behaupten, dass die Aussage auch für das nächst größere n gelten muss.

I.S. [latex](n+1)^2 =n^2 + 2n +1 \stackrel{I.V.}{\gt} 2n+1 + 2n+1 = 4n+2\gt 2n+3 =2(n+1)+1[/latex]

Wir lösen zunächst die linke Seite auf, nutzen danach unsere Induktionsvoraussetzung, um [latex]n^2[/latex] durch [latex]2n+1[/latex] zu ersetzen. Daraus ergibt sich dann [latex]4n+2[/latex], was echt größer als die rechte Seite ist.

Alle Induktionsbeweise folgen diesem Schema im Induktionsschluss. Man formt einen Teil solange um, bis man die Voraussetzung nutzen kann, um zum Ergebnis zu gelangen.

Fazit

Man kann viele Aussagen bzw. Eigenschaften mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.

~Sebastian

Was ist eine Abbildung?

Wenn man von Funktionen spricht, meint man auf totale Abbildungen. Wie in der Einleitung schon geschrieben, wird bei einer Abbildung einem Element aus dem Definitionsbereich ein Element im Wertebereich zugewiesen. Diese Elemente stehen dann miteinander in Relation. Relationen sind also der Grundbaustein für Abbildungen, auf diese werde ich aber nur kurz eingehen.

Eine Relation ist eine Menge von Tupeln, wobei oft zwei Elemente ein Tupel bilden. Diese zwei Elemente stehen dann in Relation zueinander. Für die Abbildungen müssen die Relationen verschiedene Eigenschaften erfüllen:

Zum besseren Verständnis sieht unsere Abbildung bzw. Relation folgendermaßen aus:
[latex]F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\x \mapsto x^2[/latex]

Die Menge A bezeichnet man als Definitionsbereich und die Menge B wird Wertebereich genannt.

Linkstotal

Die Relation muss linkstotal sein. Das bedeutet, dass jedem Element des Definitionsbereiches ein Element aus dem Wertebereich zugewiesen wird. Als Formel kann man dies so beschreiben:
[latex]\forall x \in A. \exists y \in B. (x,y) \in F[/latex]

Rechtseindeutig

Die Relation muss rechtseindeutig sein. Das heißt, einem Element aus dem Definitionsbereich dürfen keine zwei Elemente des Wertebereiches zugeordnet sein. Wenn zum Beispiel f(1) = 2 und f(1) = 3 wäre, welches Funktionswert würde man wählen? Das darf bei einer Funktion nicht passieren. Formell lässt sich das so ausdrücken:
[latex]\forall x \in A. \forall y_1,y_2 \in B. (x,y_1) \in F \wedge (x,y_2) \in F\implies y_1 = y_2[/latex]

Linkseindeutig

Wenn die Relation linkseindeutig ist, so kann ein Element aus dem Wertebereich nur durch höchstens ein Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ werden. Zum Beispiel ist [latex](-2)^2[/latex] und [latex]2^2[/latex] nicht linkseindeutig, da zwei verschiedene „x“-Werte auf das gleiche „y“ abbilden. Formell wird es so formuliert:
[latex]\forall x_1,x_2 \in A. \forall y \in B. (x_1,y) \in F \wedge (x_2,y) \in F \implies x_1 = x_2[/latex]

Rechtstotal

Eine Abbildung ist rechtstotal, wenn jedes Element aus dem Wertebereich von mindestens einem Element aus dem Definitionsbereich „getroffen“ wird. Formell schreibt man dies so:
[latex]\forall y \in B. \exists x \in A. (x,y) \in F[/latex]

Zurück zu Abbildungen

Nachdem ihr nun wisst, welche möglichen Eigenschaften die zweistellige Relation hinter eine Abbildung haben kann, sei gesagt, dass die „normalen“ Funktionen aus dem Unterricht totale Abbildungen sind. „total“ steht hierbei für linkstotal und rechtseindeutig. Diese beiden Eigenschaften muss eine Funktion besitzen, damit sie „funktioniert“ und keine partielle Abbildung darstellt.

Eigenschaften Injektiv, Surjektiv und Bijektiv

Eine Abbildung kann weitere tolle Eigenschaften besitzen. Diese drei nennen sich „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“.

Injektiv

Als injektiv bezeichnet man eine Abbildung, welche linkstotal, rechtseindeutig und dazu noch linkseindeutig ist. Das bedeutet, wie oben schon erklärt, dass jedes Element aus dem Wertebereich maximal mit einem Element aus dem Definitionsbereich in Verbindung stehen darf. Formell:
[latex]\forall x_1,x_2 \in A. f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2[/latex]

Nehmen wir mal die Funktion f, welche ich weiter oben definiert habe. Diese Funktion ist nicht injektiv, da zwei verschiedene x-Werte auf dasselbe y abbilden.
[latex](-2)^2 = 4 \Longleftrightarrow (2)^2 = 4[/latex]

Das widerspricht der Formell, denn man kann nicht von etwas Falschem auf etwas wahres schließen. Da die erste Bedingung vor der Implikation wahr ist (beide Funktionswerte sind 4), müsste die implizierte Bedingung ebenfalls wahr sein. Das ist aber nicht der Fall, da die beiden Eingabewerte sich im Vorzeichen unterscheiden.

Das Problem können wir „umgehen“, in dem wir den Definitionsbereich der Funktion f auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach wäre die Funktion als injektiv einzuschätzen.

Surjektiv

Surjektiv nennt sich die zweite Eigenschaft, welche eine Funktion annehmen kann. Dabei bekommt sie zu den Eigenschaften linkstotal, rechtseindeutig, die Eigenschaft rechtstotal. Bildlich bedeutet das, dass jeder mögliche Funktionswert aus dem Wertebereich getroffen werden muss. Als Formal beschreibt man diese Eigenschaft folgendermaßen:
[latex]\forall y \in B. \exists x \in A. y = f(x) [/latex]

Bei unserer quadratischen Funktion können wir folgern, dass die Funktion ebenfalls nicht surjektiv ist, da der Wertebereich die reellen Zahlen sind und wir aber nur die positiven Zahlen erreichen können. Auch dieses mal können wir das Problem ausbügeln, wenn wir den Wertebereich auf die positiven reellen Zahlen beschränken. Danach werden alle Elemente aus dem Wertebereich „getroffen“, und die Eigenschaft ist erfüllt.

Bijektiv

Wir nennen eine Funktion bijektiv, falls die Funktion injektiv und surjektiv ist. Ist dies der Fall, so lässt sich für die bijektive Funktion eine Umkehrfunktion bilden. Die Umkehrfunktion bildet, wie der Name vermuten lässt, vom Wertebereich in den Definitionsbereich ab.

Fazit

Ich hoffe, ich konnte euch das Thema „Abbildungen“ ein wenig näher bringen. Es ist auf jeden Fall sinnvoll zu wissen, wann eine Funktion eine Umkehrabbildung. Ansonsten macht es Spaß mit den verschiedenen Eigenschaften rum zuhantieren.

~ Sebastian

Was ist eine Menge?

Bevor wir uns den Operationen auf Mengen nähern, müssen wir erstmal wissen, was überhaupt eine Menge ist. Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter unterscheidbarer Objekte (Elemente einer Menge) zu einem Ganzen. Die Objekte müssen in irgendeiner Weise unterscheidbar sein, d.h. es gibt in einer Menge keine zwei identischen Elemente. Elemente haben keine feste Position und können beliebig angeordnet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Menge zu erzeugen:

• [latex]A=\{1,2,3,….\}[/latex] – Angabe einer Aufzählung oder Angabe aller Elemente
• [latex]A=\{x \in \mathbb{Z} | x \in \mathbb{N} \wedge x \le 10 \}[/latex] – „Filter“, wobei nur Elemente in A sind, welche den Filter passieren.
• [latex]a,b,c \in A[/latex] – Angabe über das Elementsymbol.

Operationen auf Mengen

Ohne bestimmte Operationen wären Mengen ziemlich langweilig und nutzlos. Die bekanntesten Operationen werde ich vorstellen:

• Vereinigung
• Schnitt
• Komplement
• Kartesisches Produkt
• Symmetrische Differenz
• Potenzmenge
• Intervalle

Vereinigung

Die Vereinigung ist so definiert: [latex]A \cup B \Leftrightarrow \{ x | x \in A \vee x \in B\}[/latex]. In der Vereinigungsmenge befinden sich also alle Elemente aus den Mengen A und B. Laut der Mengendefinition dürfen keine Objekte doppelt vorhanden sein, sodass weitere identische Elemente ignoriert werden. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \cup B[/latex] = {1,2,3,4,5}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: min(#(A),#(B))
Maximal: #(A) + #(B)

Schnitt

Der Schnitt ist das Gegenteil der Vereinigung. Bei dieser Operation werden nur Elemente übernommen, welche in beiden Grundmengen vorhanden waren. Definition: [latex]A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \cap B[/latex] = {2}

Anzahl der Elemente:
Mindestens: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximal: min(#(A),#(B))

Komplement

Das Komplement bezeichnet eine Menge, in der nur die Elemente der Menge A ohne die Elemente der Menge B vorhanden sind. Mathematisch: [latex]A \backslash B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex] A \backslash B[/latex] = {1,3}

Anzahl der Elemente:
Minimum: 0, falls keine Übereinstimmung
Maximum:  #(A)

Kartesische Produkt

Das kartesische Produkt liefert uns eine Menge von n-Tupeln. Tupel sind Mengen ähnlich, jedoch ist die Reihenfolge der Elemente fest. Um das kartesische Produkt zu bilden, verknüpft man jedes Element aus der Menge A mit einem Element aus der Menge B. Das kartesische Produkt der Mengen A und B kann man so definieren: [latex]A \times B = \{ (x, y) | x \in A \wedge y \in B \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \times B[/latex] = {(1,2), (1,4), (1,5), (2,2), (2,4), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5)}

Anzahl der Elemente: #(A) * #(B)

Anmerkung: Die Schreibweisen [latex]A^2[/latex] oder [latex]A^*[/latex] bzw. [latex]\mathbb{R}^3[/latex] stehen einfach für die mehrfache Anwendung des kartesischen Produkts. ([latex]A^* = A \times A \times A \times …[/latex]) Dadurch erhält man alle möglichen Kombinationen der Elemente. Das Koordinatensystem der 2. Dimension ist zum Beispiel nur das kartesische Produkt der reellen Zahlen.

Symmetrische Differenz

Die symmetrische Differenz kann man als eine Kombination aus Vereinigung und Schnitt bezeichnen. Dabei werden nur die Elemente übernommen, welche nicht in beiden Mengen vorhanden sind. Praktisch das Komplement der Vereinigung und des Schnittes:
[latex]A \triangle B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)[/latex]
[latex]A \triangle B = \{ x | (x\in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)\}[/latex]
Beispiel:

A = {1,2,3}
B = {2,4,5}
[latex]A \triangle B[/latex] = {1,3,4,5}

Potenzmenge

Die Potenzmenge bezeichnet die Menge, welche alle Teilmengen der übergebenen Grundmenge enthält. Die Potenzmenge bezeichnet man einfach mit P(MENGE). Formel: [latex]P(A) = \{ U | U \subseteq A \}[/latex]. Beispiel:

A = {1,2,3}
P(A) = {[latex]\emptyset[/latex],{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Anzahl der Elemente: [latex]2^{\#(A)}[/latex]

Anmerkdung: Die leere Menge ist immer Element der Potenzmenge. Es kann daher verwirrend sein, wenn man die Potenzmenge der leeren Menge bildet, und das Ergebnis erneut potenziert:
[latex]P(P(\emptyset)) = P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\} \}[/latex]

Intervalle

Die letzte Art der hier vorgestellten Mengen sind die Intervalle. Die Intervalle sind über der dichten Menge der reellen Zahlen definiert. Es gibt drei verschiedene Arten von Intervallen:

• Offenes Intervall – ]0,1[ bzw. [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
• Halboffenes Intervall – ]0,1] bzw. [latex]\{x| 0 <  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
• Geschlossenes Intervall [0,1] bzw. [latex]\{x| 0 \leq  x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]

Bei dem offenem Intervall sind die Klammern nach Außen gerichtet. Die Zahlen, die das Intervall begrenzen sind nicht in die Menge mit einbezogen (<). Beim halboffenem Intervall ist eine der beiden Klammern nach Innen gerichtet, was die entsprechende Grenze mit in die Menge einschließt. Beim geschlossenem Intervall gilt dies für beide Grenzen analog.

Die reellen Zahlen ergeben eine dichte Menge. Das heißt, zwischen zwei Zahlen liegen unendlich viele weitere Zahlen. Im Gegensatz dazu stehen die natürlichen Zahlen, bei denen genau eine Zahl auf die Andere folgt. Das folgende Beispiel soll dies darstellen:

]0,1[ = [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{R}\}[/latex]
]0,1[ [latex]\cap \mathbb{N}[/latex] = [latex]\{x| 0 <  x < 1, x \in \mathbb{N}\}[/latex] = [latex]\emptyset[/latex]

Wenn man das offene Intervall zwischen 0 und 1 mit den natürlichen Zahlen schneidet, sind in der Zielmenge nur noch die Einträge, welche ganzzahlig und positiv sind. Bei diesem Beispiel ergibt das eben die leere Menge, da es keine weiteren Zahlen zwischen 0 und 1 gibt.

Fazit

Ohne Mengen könnte die Mathematik nicht wirklich funktionieren, denn es gäbe keine Zahlenbereiche, keine Koordinatensysteme, usw. Es ist daher von Vorteil, wenn man die wichtigsten Mengenoperationen kennt, und diese anwenden kann.

~ Sebastian

Was ist eine Aussage?

Zunächst müssen wir klären, was überhaupt eine Aussage ist. Darunter versteht man einen Satz bzw. Ausdruck, dessen Inhalt entweder als wahr (true) oder unwahr (false) entschieden werden kann. Beispiele dafür sind:

• Heute ist Montag.
• Der Professor erklärt nichts.
• 2+3 != 4
• Es regnet genau dann, wenn die Sonne scheint.

Diese Aussagen sind je nach Situation mit „Ja“ oder „Nein“ beantwortbar. Keine Aussagen sind hingegen folgende Sätze:

• Sind alle anwesend?
• Bitte lest weiter.
• Ein Lügner behauptet: „Alle Lügner lügen“.

Bei diesen Beispielen handelt es sich nicht um Aussagen, da diese nicht eindeutig mit „Ja“ oder „Nein“ beantwortbar sind. Vor allem das letzte Beispiel ist interessant, denn es beschreibt einen Widerspruch und könnte ggf. in mehrwertigen Logiken (nicht nur true, false, sondern z.b. auch „vielleicht“) beantwortet werden. Da wir aber von einer zweiwertigen Logik ausgehen, ist dies keine zulässige Aussage.

Die logischen Operationen

Verschiedene Aussagen lassen sich mit Hilfe der mehrerer Operationen verknüpfen, um verkettete Aussagen zu bilden. Im folgenden wird A die erste Beispiel- und B die zweiten Beispielaussage sein.

NICHT

Die einfachste Operation ist die unitäre NICHT-Operation. Diese ist auch als „Non“ bekannt und wird mit dem [latex]\neg[/latex] Symbol dargestellt. Die Funktion besteht in der Umkehrung des Wahrheitwertes einer Aussage:

Dies ist sehr anschaulich: ([latex]\neg A[/latex])

Heute ist nicht Montag.

UND

Diese Operation trägt das Symbol [latex]\wedge[/latex] und dessen Bedeutung ist trivial. Es lassen sich zwei Aussagen verknüpfen und der Wahrheitswert der Verknüpfung wird nur „wahr“ wenn beide Teilaussagen wahr sind.

Den folgenden Satz könnte man bilden: ([latex]A \wedge B[/latex])

Heute ist Montag, und der Professor erklärt nichts.

ODER

Die „oder“-Operation verknüpft zwei Aussagen, dessen gemeinsamer Wahrheitswert „wahr“ annimmt, wenn mindestens eine der beiden Aussagen „wahr“ ist. Wichtig ist anzumerken, dass es sich nicht um das umgangssprachliche „entweder oder“ (xor) handelt.

Wendet man die Beispielsätze an, ergibt sich folgende Aussage: ([latex]A \vee B[/latex])

Heute ist Montag, oder der Professor erklärt nichts.

Implikation

Die Implikation wird meines Wissens nicht im Schulmathe behandelt, sodass diese dem Einen oder Anderen unbekannt sein könnte. Nichtsdestotrotz ist sie in der Mathematik sehr wichtig. Eine Implikation hat die folgende Struktur: [latex]A \rightarrow B[/latex]. Die Aussage A ist für B hinreichend, sodass B gelten muss, wenn A gilt. Andersherum ist B notwendig für A, sodass die Ungültigkeit von B die Ungültigkeit von A nach sich zieht. Man kann also nicht von etwas Wahrem auf etwas Falsches schließen.

Die Implikation lässt sich durch die Grundoperationen „oder“ und „nicht“ darstellen: [latex]\neg A \vee B[/latex] ist äquivalent zu [latex]A\rightarrow B[/latex].

Ein Beispielsatz kann folgendermaßen lauten:

Der Professor erklärt nichts, wenn heute Montag ist.

Äquivalenz

Die letzte in der Mathematik gebräuchliche logische Operation nennt sich Äquivalenz. Diese drückt die Gleichheit zweier Aussagen aus. Folglich ergibt sich diese Wahrheitstabelle:

Auch diese Operation lässt sich wieder durch Grundoperationen beschreiben: [latex]\neg (A \wedge B)\ \vee (A \wedge B)[/latex] und einer der obligatorischen Beispielsatz wäre:

Heute ist Montag, genau dann wenn der Professor nichts erklärt.

Prädikatenlogik

Nachdem ihr nun die wichtigsten Operationen und deren Funktionsweise kennt, können wir zur Prädikatenlogik übergehen. Die Prädikatenlogik gibt uns zwei weitere Symbole mit denen man eine Aussage auf verschiedene „Objekte“ anwenden kann. Diese Symbole nennen wir Quantoren:

• Allquantor [latex]\forall[/latex] – Für alle x gilt P(x)
• Existenzquantor [latex]\exists[/latex] – Es existiert mindestens ein x, für das P(x) gilt

Diese Quantoren erlauben uns, eine Aussage zu verallgemeinern, in dem diese Aussage auf Objekte einer Menge angewendet wird, und die Menge so beschrieben werden kann.

Sei M die Menge aller Leser dieses Blogeintrages.
Sei V(x) das Prädikat: Der Leser x hat das Thema verstanden.

Ich könnte dann folgende Behauptung aufstellen:
[latex]\forall x \in M. V(x)[/latex]

Die Formel sagt folgendes aus: Für alle Leser dieses Blogeintrags gilt, dass sie das Thema verstanden haben. Nun, ich vermute dass es schwierig werden könnte, diese Aussage zu beweisen, da bereits ein Leser, der das Thema nicht verstanden hat, genügt, um die Aussage zu widerlegen. Deswegen wäre ich besser beraten, folgende Aussage aufzustellen:
[latex]\exists x \in M. V(x)[/latex]

Zur Gültigkeit dieser Aussage reicht mir ein Leser, der das Thema verstanden hat. Dies könnte man relativ leicht beweisen, wenn man mich selbst als Leser sieht (Ich nehme an, ich hätte das Thema verstanden :P)

Durchziehen einer Negation

Es existiert die Möglichkeit, dass man Negationen vor einem Quantor „durchzieht“, sodass die Negation in die Aussage verschoben wird. Bei diesem Prozess wird der Quantor vertauscht. Ein kleines Beispiel dazu:
[latex]\neg \forall x \in M. V(x)[/latex]

Gesprochen: Nicht für alle Leser gilt, dass sie das Thema verstanden haben. Aha, das riecht stark nach dem Existenzquantor. Das Ergebnis des „Durchziehens“:
[latex]\exists x \in M. \neg V(x)[/latex]

Gesprochen: Es existiert mindestens ein Leser, der das Thema nicht verstanden hat.

Fazit

Ich hoffe, ich konnte das Thema einigermaßen verständlich erklären. Falls nicht, dann wird das bestimmt jemand im Laufe eures Lebens euch ein weiteres Mal erklären, denn ohne die Logik könnten wir vieles in der Mathematik nicht beschreiben.

~Sebastian

[mathjax]